이계 편도함수 판정법

함수 $f(x, y)$의 임계점 P에서는 두 일계 편도함수가 모두 0이고 접평면은 수평입니다. 이계 편도함수 판정법은 이계 편도함수 $A = f_{xx}$, $B = f_{xy}$, $C = f_{yy}$로부터 헤세 행렬의 행렬식인 판별식 $D = AC - B^2$을 구해 점의 종류를 판정합니다. f의 이계 편도함수가 P 근방에서 연속이면 다음이 성립합니다.

이 페이지는 임계점 P를 지나고 임의의 방향 θ를 향하는 수직 평면으로 곡면을 자릅니다. 곡면으로는 이계 도함수를 직접 정하는 이차형식이나 여러 다른 함수를 선택할 수 있습니다. 단면이 P에서 얼마나 휘는지는 그 방향의 이계 도함수 $f_{uu}$입니다. P 주위의 방향판은 단면이 위로 휘는 방향을 단색으로, 아래로 휘는 방향을 빗금으로 표시합니다. 이 판정법은 모든 방향의 단면을 한꺼번에 다루는 명제입니다.

θ가 반 바퀴 돌면 휘어짐은 중심선 $m = \tfrac12(A + C)$ 주위에서 진폭 s인 한 주기의 파형을 그립니다. 작은 그래프에 이 파형이 표시됩니다. 최댓값은 $\lambda_1 = m + s$, 최솟값은 $\lambda_2 = m - s$이며, 서로 수직인 두 방향에서 나타납니다. 이 두 값은 헤세 행렬의 고윳값입니다. 곱을 전개하면 $D = m^2 - s^2 = \lambda_1\lambda_2$입니다. 따라서 $D > 0$이면 파형은 0에 닿지 않습니다. 모든 단면이 같은 쪽으로 휘므로 P는 극소점 또는 극대점입니다. 어느 쪽인지는 단면 하나만 보아도 알 수 있고, $f_{xx}$는 바로 x 방향의 휘어짐입니다. $D < 0$이면 파형이 0을 가로지릅니다. 어떤 단면은 위로, 다른 단면은 아래로 휘므로 P는 안장점입니다.

그래서 $f_{xx} > 0$과 $f_{yy} > 0$만으로는 충분하지 않습니다. 교차항 $f_{xy}$는 파형의 꼭대기 방향을 좌표축에서 벗어나게 하고, 중심선을 움직이지 않은 채 파형을 더 높게 만듭니다. $|f_{xy}|$의 값이 충분히 커지면 두 좌표축 방향 단면이 모두 위로 휘어도 대각선 방향 단면은 아래로 휘어, 그릇이 안장이 됩니다.

$D < 0$이면 휘어짐이 0인 방향은 정확히 두 개이며, 파형이 0을 가로지르는 곳에 해당합니다. 방향판은 그 방향을 원판을 가로지르는 직선으로 그립니다. 이들은 P를 지나는 등위곡선의 접선이며, 그 등위곡선은 P에서 자기 자신과 교차합니다. 이것이 등고선 지도에서 안장점이 만드는 X자입니다.

$D = 0$이면 파형이 0에 닿거나 0선과 겹칩니다. 어떤 방향에서는 이차항이 사라지므로 이 판정법으로는 알 수 없습니다. 두 함수 $x^2 - y^4$, $x^2 + y^4$의 경우 원점에서 이계 도함수가 같지만, y 방향으로 첫 함수는 $-t^4$처럼 내려가고 둘째 함수는 $t^4$처럼 올라갑니다. 따라서 하나는 안장점, 다른 하나는 극소점입니다. 원숭이 안장 $x^3 - 3xy^2$의 경우 원점에서 모든 이계 도함수가 0이며, 곡면은 세 방향으로 올라가고 세 방향으로 내려갑니다. ‘판정할 수 없음’이 ‘극값이 없음’을 뜻하지는 않습니다.

임계점에서는 일차항이 사라지므로, P 근방의 함수는 f(P)에 이차형식을 더한 이차 테일러 다항식에 가깝습니다. 이차 근사를 선택하면 원판 위에 이를 그립니다. $D > 0$이면 P에 충분히 가까운 곳에서 이차항이 모든 방향으로 나머지항보다 우세하므로, P는 근사식과 마찬가지로 극소점 또는 극대점입니다. $D < 0$일 때도 위나 아래로 휘는 방향에서는 이차항이 우세합니다. 따라서 f는 어떤 방향으로는 올라가고 다른 방향으로는 내려가는 안장점을 갖습니다.