라그랑주 승수

점을 자유롭게 움직일 수 없고 제약 조건 $g(x, y) = c$에 해당하는 곡선 위에 머물러야 할 때, 함수 $f(x, y)$의 최댓값이나 최솟값을 찾는 문제입니다. 라그랑주 승수법은 어디를 찾아야 하는지 알려 줍니다. 곡선 위의 점 P 근방에서 $f$ 및 $g$의 일계 편도함수가 연속이고, 곡선에 제한한 $f$의 값이 P에서 극대 또는 극소이며, $\nabla g(P) \neq 0$이라고 가정합시다. 그러면 라그랑주 승수라는 수 $\lambda$에 대해 다음이 성립합니다.

x, y, $\lambda$에 대한 세 방정식입니다. 그 해는 정답이 아니라 후보점입니다. 각 해를 확인해야 하며, $\nabla g = 0$인 점들은 따로 살펴봐야 합니다.

지도에는 $f$의 등고선, 굵은 선으로 그린 제약 곡선, 그 위의 점 P가 표시됩니다. P의 파란색 화살표는 $\nabla f$이고, 속이 빈 화살표는 $\nabla g$의 방향을 나타냅니다. $\nabla f$의 두 성분 중 곡선을 따르는 성분은 노란색, 곡선을 가로지르는 성분은 점선으로 표시됩니다. 지도 아래의 단면은 곡선을 따라 이동한 거리에 대한 $f$의 값을 그립니다.

왜 성립할까요? 곡선을 따라 $g$의 값은 변하지 않으므로 곡선의 단위 접벡터 $T$는 $\nabla g$에 수직입니다. 곡선을 따라 단위 속력으로 걸으면 $f$의 변화율은 $\nabla f\cdot T$입니다. 이것이 P에서 단면의 기울기이며, 노란색 화살표는 $(\nabla f\cdot T)\,T$입니다. $\nabla g \neq 0$인 단면의 최고점이나 최저점에서 이 기울기는 0이므로, $\nabla f$에는 곡선 방향 성분이 없습니다. 평면에서 곡선 방향 성분이 없는 벡터는 $\nabla g$의 상수배이므로 $\nabla f = \lambda\nabla g$이고, $\nabla f = 0$이면 $\lambda = 0$입니다. 노란색 화살표가 0이 아닌 곳에서는 그 방향으로 걸으면 $f$의 값이 여전히 커집니다. 따라서 그곳의 P는 극대점도 극소점도 될 수 없습니다.

여기에 $\nabla f(P) \neq 0$까지 만족하면, P를 지나는 $f$의 등고선은 $\nabla f$에 수직이므로 제약 곡선과 접선이 같습니다. 제약 조건 아래에서 최대나 최소가 되는 곳에서는 제약 곡선이 등고선을 가로지르지 않고 접합니다.

$\lambda$ 자체에도 의미가 있습니다. 곡선 $g = c$ 위의 최적값을 $f^*(c)$로 씁시다. $c$의 변화에 따라 그 값을 달성하는 점이 매끄럽게 움직이면, $\lambda$는 최적값의 변화율입니다.

원 $x^2 + y^2 = c$ 위에서 $xy$의 최댓값은 $c/2$이고, 두 최대점 모두에서 $\lambda = 1/2$입니다. λ 창에는 $c$에 대한 $f^*$의 그래프가 이 기울기로 그려집니다. 변화율은 제약 조건을 어떻게 쓰느냐에 따라 달라집니다. $C = 2c$로 두고 제약 조건을 $2g = C$ 형태로 쓰면, 같은 곡선이라도 승수는 절반이 됩니다. 이제 C의 한 단위 변화에 대한 변화량을 재기 때문입니다. 2g로 쓰기에서 이를 확인할 수 있습니다.

두 곡선이 이 방법의 한계를 보여 줍니다. $y - x^3 = c$ 위에서 함수 $f = y$의 경우 $(0, c)$에서 두 기울기 벡터가 평행하지만, 곡선을 따른 $f = x^3 + c$의 값은 그곳에서 기울기만 잠깐 0이 될 뿐 계속 증가합니다. 기울기 벡터가 평행한 것만으로는 충분하지 않습니다. $y^2 - x^3 = 0$ 위에서는 $f = x$의 최솟값이 첨점 $(0, 0)$에 있지만, 그곳에서는 $\nabla g = (0, 0)$이고 방정식 $\nabla f = \lambda\nabla g$의 해가 없습니다. 이 방법으로는 그 점을 찾지 못하므로 그런 점들은 따로 확인해야 합니다.

후보점이 극대점인지, 극소점인지, 둘 다 아닌지는 단면에서 볼 수 있습니다. 곡선 위의 극대점에서는 올라가다가 내려오고, 극소점에서는 내려가다가 올라갑니다. 삼차곡선의 후보점에서는 계속 올라갑니다.