이중적분

영역 R 위에 n × n 격자를 놓고, 중심이 R 안에 있는 각 칸에 그 중심에서의 f만큼 높이의 기둥을 세웁니다. 기둥 부피의 합인 $\sum f(x_i, y_j)\,\Delta x\,\Delta y$는 리만 합입니다. 격자가 촘촘해질수록 합은 하나의 수, 즉 이중적분 $\iint_R f\,dA$에 가까워집니다. f가 음수이면 기둥이 바닥 아래로 뻗고 음수로 세므로, 이중적분은 부호 있는 부피입니다.

단면으로 자르면 이중적분을 보통의 적분 두 개로 바꿀 수 있습니다. x를 고정하는 단면에서 파란 절단면은 평면 x = s입니다. 잘린 부분이 파란 판이며, 이 판의 부호 있는 넓이 $A(s)$는 y에 대한 보통의 적분입니다. 아래 그래프에는 절단면 위치에 대한 A가 그려집니다. 기둥을 끄면 절단면까지 노란색으로 채운 부호 있는 넓이가 지금까지 쓸어 간 부피를 나타내고, 전체 구간의 부호 있는 넓이가 이중적분입니다. 이것이 반복적분입니다. R의 각 단면이 하나의 구간이면 다음과 같이 씁니다.

안쪽 적분의 양 끝은 절단면이 R에 들어가고 나오는 곳, 즉 바닥의 파란 점입니다. 삼각형 $0 \le y \le x \le 2$에서 x를 고정한 단면은 y = 0부터 y = x까지이므로 안쪽 적분은 $\int_0^x$입니다. 상한이 x에 따라 달라집니다. 고리 $1 \le x^2 + y^2 \le 4$에서 $|x| < 1$인 절단면은 구멍을 지나므로 단면이 두 조각으로 나뉘고, 안쪽 적분은 각 조각에 대한 두 적분의 합이 됩니다.

순서를 바꾼다는 것은 상한과 하한을 맞바꾸는 것이 아니라, 영역에서 다시 읽어 내는 것입니다. 같은 삼각형에서 y를 고정한 단면은 x = y부터 x = 2까지이므로

두 순서는 두 단면적을 나란히 보여 줍니다. 서로 다른 함수로, $A(x) = x + x^2/2$의 값은 계속 증가하고 $B(y) = (1 + y)(2 - y)$의 값은 증가했다가 감소합니다. 그래도 각 그래프 아래의 넓이는 같습니다. 유한한 기둥들의 합은 가로줄별로 더하든 세로줄별로 더하든 같으며, 격자가 촘촘해질 때 두 덧셈 방식이 두 반복적분이 됩니다. f가 유한 개의 매끄러운 곡선으로 경계가 이루어진 유계 닫힌 영역에서 연속이면, 두 순서 모두 이중적분을 줍니다. 이것이 푸비니 정리이며, 이 페이지의 모든 예시는 그 조건을 만족합니다.

한쪽 순서만 초등함수로 계산할 수 있는 경우도 있습니다. 삼각형 $0 \le x \le y \le 1$에서 x를 고정하면 안쪽 적분은 $\int_x^1 e^{y^2}\,dy$이며, $e^{y^2}$에는 초등함수로 표현되는 원시함수가 없습니다. 대신 y를 고정하면 각 단면은 너비 y, 높이 $e^{y^2}$인 직사각형이고, 부피는 $\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = (e - 1)/2 \approx 0.859$입니다.