Integral duplo

Numa malha n × n sobre uma região R, cada célula cujo centro pertence a R tem uma coluna com altura igual ao valor de f nesse centro. O volume total das colunas, $\sum f(x_i, y_j)\,\Delta x\,\Delta y$, é uma soma de Riemann. À medida que a malha se torna mais fina, as somas aproximam-se de um número: o integral duplo $\iint_R f\,dA$. Onde f é negativa, a coluna fica suspensa abaixo do chão e conta como negativa, pelo que o integral duplo é um volume com sinal.

Os cortes transformam o integral duplo em dois integrais simples. Para os cortes com x fixo, o plano azul é x = s. A secção é o painel azul, cuja área com sinal $A(s)$ é um integral simples em y. O gráfico sob a vista representa A em função da posição do plano. Com a opção Colunas desligada, a área com sinal sombreada a amarelo até ao plano é o volume varrido até agora, e a área com sinal em todo o intervalo é o integral duplo. Este é o integral iterado. Quando cada secção de R é um único intervalo, escreve-se

Os limites interiores são os pontos onde o plano entra e sai de R, assinalados a azul no chão. No triângulo $0 \le y \le x \le 2$, o corte com x fixo vai de y = 0 até y = x, pelo que o integral interior é $\int_0^x$: o limite superior depende de x. Na coroa circular $1 \le x^2 + y^2 \le 4$, um plano com $|x| < 1$ atravessa o buraco, o corte divide-se em duas partes e o integral interior torna-se uma soma de dois integrais, um por parte.

Mudar a ordem exige voltar a ler os limites a partir da região, não trocá-los entre si. No mesmo triângulo, um corte com y fixo vai de x = y até x = 2, pelo que

A opção Ambas as ordens mostra as duas áreas de corte lado a lado. São funções diferentes: $A(x) = x + x^2/2$ cresce sempre, enquanto $B(y) = (1 + y)(2 - y)$ sobe e desce, mas as áreas sob elas coincidem. Uma soma finita de colunas dá o mesmo total somando linha a linha ou coluna a coluna; os dois integrais iterados são os limites dessas duas formas de somar quando a malha se torna mais fina. Se f é contínua numa região fechada e limitada cuja fronteira é formada por um número finito de curvas suaves, ambas as ordens dão o integral duplo. É o teorema de Fubini, e todos os exemplos desta página satisfazem essas condições.

Por vezes, apenas uma ordem permite o cálculo com funções elementares. Sobre o triângulo $0 \le x \le y \le 1$, fixar x deixa $\int_x^1 e^{y^2}\,dy$, e $e^{y^2}$ não tem primitiva elementar. Fixando antes y, cada corte é um retângulo de largura y e altura $e^{y^2}$, e o volume é $\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = (e - 1)/2 \approx 0.859$.