Multiplicador de Lagrange

O problema consiste em encontrar o maior ou menor valor de uma função $f(x, y)$ quando o ponto não é livre, mas tem de permanecer numa curva: a restrição $g(x, y) = c$. O método dos multiplicadores de Lagrange indica onde procurar. Suponhamos que $f$ e $g$ têm primeiras derivadas parciais contínuas perto de um ponto P da curva, que $f$ restrita à curva tem um máximo ou mínimo local em P e que $\nabla g(P) \neq 0$. Então existe um número $\lambda$, o multiplicador de Lagrange, tal que

São três equações para x, y e $\lambda$. As soluções são candidatos, não respostas: cada uma ainda tem de ser verificada, e os pontos onde $\nabla g = 0$ têm de ser analisados separadamente.

O mapa mostra as curvas de nível de $f$, a curva da restrição a traço grosso e um ponto P sobre ela. Em P, a seta azul é $\nabla f$, a seta vazia indica a direção de $\nabla g$, e $\nabla f$ decompõe-se numa componente amarela ao longo da curva e noutra tracejada perpendicular a ela. Sob o mapa, o perfil representa $f$ em função da distância percorrida ao longo da curva.

Porque funciona? Ao longo da curva, $g$ não muda, pelo que o seu vetor tangente unitário $T$ é perpendicular a $\nabla g$. Ao percorrer a curva com velocidade unitária, $f$ varia à taxa $\nabla f\cdot T$, que é o declive do perfil em P, e a seta amarela é $(\nabla f\cdot T)\,T$. Num ponto mais alto ou mais baixo do perfil onde $\nabla g \neq 0$, esse declive é zero, pelo que $\nabla f$ não tem componente ao longo da curva. No plano, um vetor sem componente ao longo da curva é um múltiplo de $\nabla g$, logo $\nabla f = \lambda\nabla g$, com $\lambda = 0$ se $\nabla f = 0$. Onde a seta amarela não é zero, avançar no seu sentido ainda aumenta $f$, pelo que P não pode ser aí um máximo nem um mínimo.

Se também $\nabla f(P) \neq 0$, a curva de nível de $f$ que passa por P é perpendicular a $\nabla f$, pelo que tem a mesma tangente que a restrição. Num máximo ou mínimo condicionado, a restrição é tangente a uma curva de nível, em vez de a cortar transversalmente.

$\lambda$ tem um significado próprio. Escrevamos $f^*(c)$ para o valor ótimo na curva $g = c$. Se um ponto que atinge esse valor se desloca de forma suave quando $c$ muda, então $\lambda$ é a taxa a que o valor ótimo varia:

Na circunferência $x^2 + y^2 = c$, o maior valor de $xy$ é $c/2$, e $\lambda = 1/2$ nos dois máximos. A janela λ representa $f^*$ em função de $c$ com este declive. A taxa depende da forma como se escreve a restrição. Escrita como $2g = C$ com $C = 2c$, a mesma curva tem metade do multiplicador, porque agora mede a variação por unidade de C. A opção Escrever como 2g mostra-o.

Duas curvas mostram os limites do método. Em $y - x^3 = c$, a função $f = y$ dá gradientes paralelos em $(0, c)$, mas, ao longo da curva, $f = x^3 + c$ apenas se torna horizontal nesse ponto e continua a subir. Gradientes paralelos não bastam. Em $y^2 - x^3 = 0$, o menor valor de $f = x$ ocorre na cúspide $(0, 0)$, onde $\nabla g = (0, 0)$ e a equação $\nabla f = \lambda\nabla g$ não tem solução. O método não deteta esse ponto, pelo que estes casos têm de ser verificados diretamente.

O perfil revela se um candidato é um máximo, um mínimo ou nenhum dos dois. Sobe e depois desce num máximo local da curva, desce e depois sobe num mínimo local, e continua a subir no candidato da cúbica.