Lagrange-Multiplikator

Gesucht ist der größte oder kleinste Wert einer Funktion $f(x, y)$, wenn der Punkt nicht frei beweglich ist, sondern auf einer Kurve bleiben muss: der Nebenbedingung $g(x, y) = c$. Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren zeigt, wo man suchen muss. Angenommen, $f$ und $g$ haben in der Nähe eines Kurvenpunkts P stetige erste partielle Ableitungen, die auf die Kurve eingeschränkte Funktion $f$ hat bei P ein lokales Maximum oder Minimum, und es gilt $\nabla g(P) \neq 0$. Dann gibt es eine Zahl $\lambda$, den Lagrange-Multiplikator, mit

Das sind drei Gleichungen für x, y und $\lambda$. Ihre Lösungen sind Kandidaten, noch keine Antworten: Jede muss überprüft werden, und Punkte mit $\nabla g = 0$ müssen gesondert betrachtet werden.

Die Karte zeigt die Höhenlinien von $f$, die kräftig gezeichnete Nebenbedingungskurve und einen Punkt P darauf. Bei P ist der blaue Pfeil $\nabla f$, der hohle Pfeil zeigt die Richtung von $\nabla g$, und $\nabla f$ zerfällt in einen gelben Anteil entlang der Kurve und einen gestrichelten Anteil quer dazu. Unter der Karte zeichnet das Profil $f$ gegen die auf der Kurve zurückgelegte Strecke.

Warum funktioniert das? Entlang der Kurve ändert sich $g$ nicht. Daher steht ihr Einheitstangentenvektor $T$ senkrecht auf $\nabla g$. Bewegt man sich mit Einheitsgeschwindigkeit entlang der Kurve, ändert sich $f$ mit der Rate $\nabla f\cdot T$. Das ist die Steigung des Profils bei P; der gelbe Pfeil ist $(\nabla f\cdot T)\,T$. An einem höchsten oder tiefsten Punkt des Profils mit $\nabla g \neq 0$ ist diese Steigung null, sodass $\nabla f$ keinen Anteil entlang der Kurve hat. In der Ebene ist ein solcher Vektor ein Vielfaches von $\nabla g$. Also gilt $\nabla f = \lambda\nabla g$, mit $\lambda = 0$, falls $\nabla f = 0$. Wo der gelbe Pfeil nicht null ist, erhöht ein Schritt in seine Richtung noch immer $f$. Dort kann P daher weder Maximum noch Minimum sein.

Gilt außerdem $\nabla f(P) \neq 0$, so steht die Höhenlinie von $f$ durch P senkrecht auf $\nabla f$ und hat somit dieselbe Tangente wie die Nebenbedingungskurve. An einem Maximum oder Minimum unter Nebenbedingung berührt diese eine Höhenlinie, statt sie zu kreuzen.

$\lambda$ hat eine eigene Bedeutung. Bezeichne den Optimalwert auf der Kurve $g = c$ mit $f^*(c)$. Wenn ein Punkt, der diesen Wert annimmt, sich bei Änderung von $c$ glatt bewegt, ist $\lambda$ die Änderungsrate des Optimalwerts:

Auf dem Kreis $x^2 + y^2 = c$ ist der größte Wert von $xy$ gleich $c/2$, und an beiden Maxima gilt $\lambda = 1/2$. Das λ-Fenster zeichnet $f^*$ gegen $c$ mit dieser Steigung. Die Rate hängt davon ab, wie die Nebenbedingung geschrieben wird. In der Form $2g = C$ mit $C = 2c$ hat dieselbe Kurve nur den halben Multiplikator, denn dieser misst nun die Änderung je Einheit von C. Die Option Als 2g schreiben zeigt das.

Zwei Kurven zeigen die Grenzen der Methode. Auf $y - x^3 = c$ hat die Funktion $f = y$ bei $(0, c)$ parallele Gradienten. Doch entlang der Kurve wird $f = x^3 + c$ dort nur kurz waagerecht und steigt weiter. Parallele Gradienten reichen nicht aus. Auf $y^2 - x^3 = 0$ liegt der kleinste Wert von $f = x$ an der Spitze $(0, 0)$, wo $\nabla g = (0, 0)$ gilt und $\nabla f = \lambda\nabla g$ keine Lösung hat. Die Methode findet diesen Punkt nicht; solche Punkte müssen daher einzeln überprüft werden.

Ob ein Kandidat ein Maximum, ein Minimum oder keines von beiden ist, zeigt das Profil. An einem lokalen Maximum auf der Kurve steigt es erst und fällt dann, an einem lokalen Minimum fällt es erst und steigt dann. Am Kandidaten der kubischen Kurve steigt es weiter.