Doppelintegral

Lege ein n × n-Gitter über ein Gebiet R. Jede Zelle, deren Mittelpunkt in R liegt, trägt eine Säule mit der Höhe des Funktionswerts von f an diesem Mittelpunkt. Das Gesamtvolumen der Säulen, $\sum f(x_i, y_j)\,\Delta x\,\Delta y$, ist eine Riemannsumme. Wird das Gitter feiner, nähern sich die Summen einer Zahl: dem Doppelintegral $\iint_R f\,dA$. Wo f negativ ist, hängt die Säule unter dem Boden und zählt negativ. Das Doppelintegral ist also ein Volumen mit Vorzeichen.

Durch Schneiden wird das Doppelintegral zu zwei gewöhnlichen Integralen. Bei Schnitten mit festem x ist die blaue Schnittebene x = s. Ihr Schnitt ist die blaue Platte, deren Fläche mit Vorzeichen $A(s)$ ein gewöhnliches Integral nach y ist. Der Graph unter der Ansicht zeichnet A gegen die Position der Schnittebene. Bei ausgeschalteter Option Säulen entspricht die gelb gefüllte Fläche mit Vorzeichen bis zur Schnittebene dem bisher durchlaufenen Volumen. Die Fläche mit Vorzeichen über den gesamten Bereich ist das Doppelintegral. Das ist das iterierte Integral. Besteht jeder Schnitt von R aus einem einzigen Intervall, lautet es

Die inneren Grenzen liegen dort, wo die Schnittebene R betritt und verlässt: an den blauen Punkten auf dem Boden. Beim Dreieck $0 \le y \le x \le 2$ reicht der Schnitt bei x von y = 0 bis y = x. Das innere Integral ist daher $\int_0^x$: Die obere Grenze hängt von x ab. Beim Kreisring $1 \le x^2 + y^2 \le 4$ durchläuft eine Schnittebene mit $|x| < 1$ das Loch. Der Schnitt zerfällt in zwei Teile, und das innere Integral wird zur Summe zweier Integrale, eines für jeden Teil.

Eine andere Reihenfolge bedeutet, die Grenzen neu aus dem Gebiet abzulesen, statt sie zu vertauschen. Beim selben Dreieck reicht ein Schnitt bei festem y von x = y bis x = 2, also

Die Option Beide Reihenfolgen zeigt die beiden Schnittflächen nebeneinander. Es sind unterschiedliche Funktionen: $A(x) = x + x^2/2$ wächst stetig, $B(y) = (1 + y)(2 - y)$ wächst erst und fällt dann. Trotzdem stimmen die Flächen unter ihren Graphen überein. Eine endliche Summe von Säulen ergibt zeilenweise und spaltenweise addiert denselben Gesamtwert. Die beiden iterierten Integrale entstehen aus diesen zwei Arten des Addierens, wenn das Gitter immer feiner wird. Ist f auf einem abgeschlossenen, beschränkten Gebiet stetig, dessen Rand aus endlich vielen glatten Kurven besteht, ergeben beide Reihenfolgen das Doppelintegral. Das ist der Satz von Fubini; alle Voreinstellungen dieser Seite erfüllen seine Voraussetzungen.

Manchmal lässt sich nur eine Reihenfolge mit elementaren Funktionen auswerten. Über dem Dreieck $0 \le x \le y \le 1$ bleibt bei festem x das Integral $\int_x^1 e^{y^2}\,dy$, und $e^{y^2}$ hat keine elementare Stammfunktion. Bei festem y ist dagegen jeder Schnitt ein Rechteck mit Breite y und Höhe $e^{y^2}$. Das Volumen ist $\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = (e - 1)/2 \approx 0.859$.