Integral lipat dua

Pada kisi n × n di atas daerah R, setiap sel yang pusatnya berada di R memuat kolom setinggi nilai f di pusat itu. Total volume kolom, $\sum f(x_i, y_j)\,\Delta x\,\Delta y$, adalah jumlah Riemann. Saat kisi makin halus, jumlahnya mendekati satu bilangan, yaitu integral lipat dua $\iint_R f\,dA$. Di tempat f negatif, kolom menggantung di bawah bidang dasar dan dihitung negatif, sehingga integral lipat dua adalah volume bertanda.

Pengirisan mengubah integral lipat dua menjadi dua integral biasa. Untuk irisan x, pemotong biru adalah bidang x = s. Irisannya berupa panel biru, dan luas bertanda panel $A(s)$ adalah integral biasa terhadap y. Grafik di bawah tampilan menggambarkan A terhadap posisi pemotong. Dengan Kolom dimatikan, luas bertanda yang diwarnai kuning hingga pemotong adalah volume yang telah disapu, dan luas bertanda pada seluruh rentang adalah integral lipat dua. Inilah integral berulang. Ketika setiap irisan R berupa satu interval, bentuknya adalah

Batas integral dalam adalah tempat pemotong masuk dan keluar R, yaitu titik-titik biru pada bidang dasar. Pada segitiga $0 \le y \le x \le 2$, irisan di x berjalan dari y = 0 hingga y = x, sehingga integral dalamnya $\int_0^x$: batas atas bergantung pada x. Pada cincin $1 \le x^2 + y^2 \le 4$, pemotong dengan $|x| < 1$ melintasi lubang, irisan terbagi dua, dan integral dalam menjadi jumlah dua integral, satu untuk setiap bagian.

Mengubah urutan berarti membaca ulang batas dari daerahnya, bukan menukarnya begitu saja. Pada segitiga yang sama, irisan dengan y tetap berjalan dari x = y hingga x = 2, sehingga

Kedua urutan menampilkan kedua luas irisan berdampingan. Fungsinya berbeda: $A(x) = x + x^2/2$ terus naik, sedangkan $B(y) = (1 + y)(2 - y)$ naik lalu turun, tetapi luas di bawah grafiknya sama. Penjumlahan kolom yang berhingga memberikan total sama, baik dijumlahkan baris demi baris maupun kolom demi kolom. Saat kisi makin halus, kedua cara menjumlahkan itu menjadi dua integral berulang. Jika f kontinu pada daerah tertutup dan terbatas yang batasnya tersusun dari sejumlah berhingga kurva mulus, kedua urutan memberikan integral lipat dua. Inilah teorema Fubini, dan semua contoh bawaan pada halaman ini memenuhi syaratnya.

Terkadang hanya satu urutan yang dapat dihitung dengan fungsi elementer. Pada segitiga $0 \le x \le y \le 1$, menetapkan x menyisakan $\int_x^1 e^{y^2}\,dy$, dan $e^{y^2}$ tidak memiliki antiturunan elementer. Jika y yang ditetapkan, setiap irisan berupa persegi panjang selebar y dan setinggi $e^{y^2}$, sehingga volumenya $\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = (e - 1)/2 \approx 0.859$.