Çift katlı integral

R bölgesi üzerindeki n × n ızgarada, merkezi R’de kalan her hücre, yüksekliği merkezindeki f değeri olan bir sütun taşır. Sütunların toplam hacmi $\sum f(x_i, y_j)\,\Delta x\,\Delta y$, bir Riemann toplamıdır. Izgara inceldikçe toplamlar tek bir sayıya, çift katlı integral $\iint_R f\,dA$ değerine yaklaşır. f’nin negatif olduğu yerde sütun tabanın altına uzanır ve negatif sayılır; bu yüzden çift katlı integral işaretli bir hacimdir.

Kesit almak, çift katlı integrali iki tek katlı integrale dönüştürür. x kesitlerinde mavi kesici düzlem x = s düzlemidir. Kesit mavi paneldir ve panelin işaretli alanı $A(s)$, y’ye göre tek katlı bir integraldir. Görünümün altındaki grafik A’yı kesici düzlemin konumuna göre gösterir. Sütunlar kapalıyken, düzleme kadar sarıyla boyanmış işaretli alan şimdiye kadar taranan hacimdir; bütün aralıktaki işaretli alan ise çift katlı integraldir. Bu, ardışık integraldir. R’nin her kesiti tek bir aralık olduğunda şöyle yazılır:

İç sınırlar, kesici düzlemin R’ye girdiği ve çıktığı yerlerdir; tabandaki mavi noktalar bunları gösterir. $0 \le y \le x \le 2$ üçgeninde x’teki kesit y = 0’dan y = x’e uzanır, dolayısıyla iç integral $\int_0^x$ olur: üst sınır x’e bağlıdır. $1 \le x^2 + y^2 \le 4$ halkasında $|x| < 1$ koşulunu sağlayan bir düzlem delikten geçer, kesit iki parçaya ayrılır ve iç integral, her parça için birer integralin toplamı olur.

Sırayı değiştirmek sınırları yer değiştirmek değil, bölgeden yeniden okumaktır. Aynı üçgende sabit y’deki kesit x = y’den x = 2’ye uzanır, dolayısıyla

İki sıra birden iki kesit alanını yan yana gösterir. Bunlar farklı fonksiyonlardır: $A(x) = x + x^2/2$ sürekli artarken $B(y) = (1 + y)(2 - y)$ önce artar, sonra azalır; yine de altlarındaki alanlar eşittir. Sonlu sayıdaki sütunlar satır satır da sütun sütun da toplansa aynı sonucu verir. Izgara inceldikçe bu iki toplama yolu iki ardışık integrale dönüşür. f, sınırı sonlu sayıda düzgün eğriden oluşan kapalı ve sınırlı bir bölgede sürekliyse her iki sıra da çift katlı integrali verir. Bu Fubini teoremidir; sayfadaki bütün hazır örnekler koşullarını sağlar.

Bazen yalnızca bir sıra temel fonksiyonlarla hesaplanabilir. $0 \le x \le y \le 1$ üçgeninde x’i sabitlemek $\int_x^1 e^{y^2}\,dy$ integralini bırakır ve $e^{y^2}$ için temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ilkel fonksiyon yoktur. Bunun yerine y’yi sabitlersek her kesit genişliği y, yüksekliği $e^{y^2}$ olan bir dikdörtgendir ve hacim $\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = (e - 1)/2 \approx 0.859$ olur.