Çizgi integrali

Bir $F$ kuvvet alanı, A’dan B’ye $C$ yolu boyunca hareket eden cisme kuvvet uygular. Uzunluğu $ds$ olan her kısa adımda yalnızca kuvvetin hareket doğrultusundaki bileşeni iş yapar: $F\cdot T\,ds$. Burada $T$ birim teğet vektördür. Bu parçaları toplamak, $F$ alanının $C$ boyunca çizgi integralini, yani $W$ işini verir.

Yol boyunca sarı işaretler $F\cdot T$ değerini gösterir: kuvvet yardım ediyorsa dolu ve ileriye, engelliyorsa boş ve geriye dönüktürler. Görünümün altındaki grafik, $F\cdot T$ değerini A’dan itibaren yürünülen $s$ mesafesine göre çizer. Eksen altındaki taralı alanı negatif sayarsak, kırmızı S noktasına kadar alan o ana dek yapılan iş, toplam alan ise $W$ olur: çizgi integrali $s$ değişkenine göre sıradan bir integrale dönüşmüştür.

S’de kuvvet, yol boyunca sarı bir bileşene ve yola dik, iş yapmayan soluk bir bileşene ayrılır. $F = (x, y)$ radyal alanında, orijin merkezli ve yarıçapı 2 olan çember üzerinde kuvvetin uzunluğu 2’dir ancak dışarıya yönelir; bu yüzden $F\cdot T = 0$ ve $W = 0$ olur. İş, kuvvetin büyüklüğü ile yolun uzunluğunun çarpımı demek değildir. Tersine çevir aynı yolu geriye doğru izler; $T$ yerine $-T$, $W$ yerine $-W$ gelir.

$F = \nabla\varphi$ gradyan alanında zincir kuralı, $F\cdot T\,ds$ ifadesinin adım boyunca $\varphi$ değişimi olduğunu söyler. S’ye kadar yapılan iş $\varphi(S) - \varphi(A)$ olur; $\nabla\varphi$ sürekli olduğunda parçalı düzgün herhangi bir yol boyunca iş yalnızca uçlara bağlıdır:

Seviye eğrileri bunun nedenini formülsüz gösterir. $\varphi$ değerinin tam sayı olduğu eğrileri çizer. Bir eğriden sonraki eğriye çıkarken $\varphi$ değeri 1 artar; bu yüzden aralarında yükselen bir yol, yol boyunca düzgünce biriken bir birim iş verir. Yol nasıl kıvrılırsa kıvrılsın, fazladan geçişler biri yukarı biri aşağı olmak üzere çiftler hâlindedir ve birbirini götürür. Bu nedenle A’dan B’ye her yol aynı net sayıda eğri geçer; bu sayı uçlardaki bir birimden küçük kısımlarla birlikte $\varphi(B) - \varphi(A)$ eder.

Yaptığı iş yalnızca yolun uçlarına bağlı olan alana korunumlu denir. Böyle bir alanda her kapalı yol boyunca iş sıfırdır; çünkü yol başladığı yerde biter.

$F = (-y, x)$ dönme alanının potansiyeli yoktur. $(2, 0)$ noktasından $(-2, 0)$ noktasına üst yarım çember boyunca, $2\pi$ uzunluğunun tamamında $F\cdot T = 2$ olur; dolayısıyla $W = 4\pi \approx 12.57$. x ekseni boyunca kuvvet yola diktir ve $W = 0$ olur. Üstten gidip eksen boyunca dönmek, $4\pi$ iş yapılan kapalı bir yol oluşturur.

$F = (-y, x)/(x^2 + y^2)$ sarmal merdiveni arada bir durumdur. Tanımlı olduğu her yerde rotasyoneli sıfırdır; orijin dışındaki her noktanın yakınında $\theta$ kutupsal açısının gradyanıdır. Ancak tam tur boyunca geçerli tek bir açı fonksiyonu yoktur; çünkü orijin çevresinde saat yönünün tersine bir tur $2\pi$ ekler. Seviye eğrileri ışınlardır ve iş, yol boyunca kesintisiz izlenen $\theta$ değişimidir: orijinin çevresinde saat yönünün tersine bir tur için $2\pi \approx 6.28$, orijini içine almayan bir çember için 0.