線積分

物體沿路徑$C$從A移動到B，受到力場$F$作用。每走長度$ds$的一小步，只有力沿前進方向的分量作功，即$F\cdot T\,ds$，其中$T$是單位切向量。將這些小部分相加，就得到$F$沿$C$的線積分，也就是功$W$。

路徑上的黃色刻點表示$F\cdot T$：力助推時實心朝前，阻擋時空心朝後。下方圖形畫出$F\cdot T$隨從A出發走過的距離$s$的變化。將軸下斜線區域的面積算作負值，到紅色點S為止的面積，就是目前作的功；全部面積則是$W$。線積分就這樣化為對$s$的普通積分。

在S處，力分成沿路徑的黃色分量，以及垂直路徑、不作功的淡色分量。在徑向場$F = (x, y)$中，沿以原點為圓心、半徑2的圓周走，力長2卻徑直朝外，因此$F\cdot T = 0$且$W = 0$。功並不是力的大小乘上路徑長度。反向沿相同路徑往回走，使$T$變成$-T$、$W$變成$-W$。

在梯度場$F = \nabla\varphi$中，連鎖律使$F\cdot T\,ds$等於這一步內$\varphi$的變化。到S為止的功是$\varphi(S) - \varphi(A)$；當$\nabla\varphi$連續時，沿任意分段光滑路徑所作的功只取決於端點：

等值線不用公式就能說明原因。它畫出$\varphi$為整數的各條線。從一條線向上走到下一條，$\varphi$增加1，因此走過兩線之間的路徑會作一單位的功，功沿途平順累積。路徑再怎麼曲折，多出的穿越總是一次向上、一次向下，成對抵消。因此所有從A到B的路徑，穿越等值線的淨次數相同；加上兩端不足一單位的部分，就得到$\varphi(B) - \varphi(A)$。

作功只取決於路徑端點的場，稱為保守場。在這種場中，任意封閉路徑所作的功都是0，因為起點與終點相同。

旋轉場$F = (-y, x)$沒有位勢函數。從$(2, 0)$到$(-2, 0)$走上半圓，長度$2\pi$的路徑上處處$F\cdot T = 2$，因此$W = 4\pi \approx 12.57$。沿x軸走，力垂直於路徑，$W = 0$。走上半圓，再沿x軸回來，這條封閉路徑會作$4\pi$的功。

螺旋樓梯場$F = (-y, x)/(x^2 + y^2)$介於兩者之間。在有定義的每一處，它的旋度都為0；除了原點，在任一點附近，它都是極角$\theta$的梯度。但沒有單一的角度函數能繞一整圈仍處處適用，因為繞原點逆時針一圈，角度便增加$2\pi$。它的等值線是射線，功則是沿路徑連續追蹤$\theta$所得的變化：繞原點逆時針一圈為$2\pi \approx 6.28$；沿不包圍原點的圓周一圈則為0。