التكامل الخطي

يدفع مجال قوة $F$ جسمًا يتحرك على مسار $C$ من ⁦A⁩ إلى ⁦B⁩. في كل خطوة قصيرة طولها $ds$، لا يبذل شغلًا إلا جزء القوة في اتجاه الحركة، $F\cdot T\,ds$، حيث $T$ هو متجه المماس الوحدي. جمع هذه الأجزاء يعطي التكامل الخطي للمجال $F$ على طول $C$، أي الشغل $W$.

تبين العلامات الصفراء على المسار $F\cdot T$: تكون مصمتة ومتجهة إلى الأمام حيث تساعد القوة على الحركة، ومفرغة ومتجهة إلى الخلف حيث تعوقها. يرسم المخطط أسفل العرض $F\cdot T$ مقابل المسافة $s$ المقطوعة من ⁦A⁩. باعتبار المساحة المهشّرة تحت المحور سالبة، تكون المساحة حتى النقطة ⁦S⁩ الحمراء هي الشغل المبذول حتى الآن، والمساحة الكلية هي $W$: أصبح التكامل الخطي تكاملًا عاديًا بالنسبة إلى $s$.

عند ⁦S⁩، تنقسم القوة إلى مركبة صفراء على طول المسار وأخرى باهتة عمودية عليه لا تبذل شغلًا. في المجال الشعاعي $F = (x, y)$، على الدائرة ذات نصف القطر ⁦2⁩ ومركزها الأصل، يكون طول القوة ⁦2⁩ لكنها تتجه مباشرة إلى الخارج، لذا $F\cdot T = 0$ و$W = 0$. ليس الشغل مجرد مقدار القوة مضروبًا في طول المسار. يتتبع خيار اعكس الاتجاه المسار نفسه إلى الخلف، فيحوّل $T$ إلى $-T$ و$W$ إلى $-W$.

في مجال تدرّج $F = \nabla\varphi$، تجعل قاعدة السلسلة $F\cdot T\,ds$ هو التغيّر في $\varphi$ خلال الخطوة. الشغل حتى ⁦S⁩ هو $\varphi(S) - \varphi(A)$، وعندما يكون $\nabla\varphi$ متصلًا، لا يعتمد الشغل على أي مسار أملس على أجزاء إلا على نهايتيه:

يوضح خيار خطوط التساوي السبب دون صيغة. فهو يرسم الخطوط التي تكون عندها $\varphi$ عددًا صحيحًا. من خط إلى التالي صعودًا، تزيد $\varphi$ بمقدار ⁦1⁩، لذا يعطي مسار يصعد بينهما وحدة واحدة من الشغل، تتراكم بسلاسة على الطريق. مهما التفّ المسار، تأتي عبوراته الإضافية أزواجًا، واحد صعودًا وآخر هبوطًا، فتتلاشى مساهماتها. لذلك يعبر كل مسار من ⁦A⁩ إلى ⁦B⁩ العدد الصافي نفسه من الخطوط، ويعطي هذا العدد، مع كسري الوحدة عند النهايتين، $\varphi(B) - \varphi(A)$.

يسمى المجال الذي يعتمد شغله على نهايتي المسار فقط مجالًا محافظًا. في هذا المجال يكون الشغل حول كل مسار مغلق صفرًا، لأنه ينتهي حيث يبدأ.

ليس لمجال الدوران $F = (-y, x)$ دالة جهد. من $(2, 0)$ إلى $(-2, 0)$، يحقق نصف الدائرة العلوي $F\cdot T = 2$ على طوله $2\pi$ كله، لذا $W = 4\pi \approx 12.57$. على محور ⁦x⁩ تكون القوة عمودية على المسار و$W = 0$. الذهاب عبر الأعلى والعودة على المحور يصنع مسارًا مغلقًا شغله $4\pi$.

يقع السُلّم الحلزوني $F = (-y, x)/(x^2 + y^2)$ بين الحالتين. دورانه يساوي صفرًا أينما كان معرّفًا، وقرب أي نقطة غير الأصل يكون تدرّج الزاوية القطبية $\theta$. لكن لا توجد دالة زاوية واحدة تصلح للدورة كلها، لأن دورة واحدة عكس عقارب الساعة حول الأصل تضيف $2\pi$. خطوط تساويه أنصاف مستقيمات، والشغل هو التغيّر في $\theta$ عند تتبّعها باستمرار على المسار: $2\pi \approx 6.28$ لدورة واحدة عكس عقارب الساعة حول الأصل، و⁦0⁩ حول دائرة لا تحيط به.