Kurvenintegral

Ein Kraftfeld $F$ wirkt auf einen Körper, der sich entlang eines Wegs $C$ von A nach B bewegt. Bei jedem kurzen Schritt der Länge $ds$ verrichtet nur der Kraftanteil in Bewegungsrichtung Arbeit, $F\cdot T\,ds$, wobei $T$ der Einheitstangentenvektor ist. Die Summe dieser Beiträge ergibt das Kurvenintegral von $F$ entlang $C$, also die Arbeit $W$.

Die gelben Striche entlang des Wegs zeigen $F\cdot T$. Sie sind ausgefüllt und zeigen vorwärts, wo die Kraft die Bewegung unterstützt; sie sind hohl und zeigen rückwärts, wo sie bremst. Der Graph darunter zeichnet $F\cdot T$ gegen die von A aus zurückgelegte Entfernung $s$. Zählt man die schraffierte Fläche unter der Achse negativ, ist die Fläche bis zum roten Punkt S die bisher verrichtete Arbeit, die gesamte Fläche dagegen $W$. Aus dem Kurvenintegral ist ein gewöhnliches Integral nach $s$ geworden.

Bei S wird die Kraft in einen gelben Anteil entlang des Wegs und einen blassen Anteil quer dazu zerlegt. Der quer gerichtete Anteil verrichtet keine Arbeit. Im Radialfeld $F = (x, y)$ hat die Kraft auf dem Kreis mit Radius 2 um den Ursprung die Länge 2, zeigt aber genau nach außen. Daher gelten $F\cdot T = 0$ und $W = 0$. Arbeit ist nicht einfach Kraftbetrag mal Weglänge. Die Option Umkehren durchläuft denselben Weg rückwärts: $T$ wird zu $-T$, $W$ zu $-W$.

In einem Gradientenfeld $F = \nabla\varphi$ ist $F\cdot T\,ds$ nach der Kettenregel die Änderung von $\varphi$ über den Schritt. Die Arbeit bis S ist $\varphi(S) - \varphi(A)$. Ist $\nabla\varphi$ stetig, hängt die Arbeit entlang jedes stückweise glatten Wegs nur von seinen Endpunkten ab:

Die Option Höhenlinien zeigt den Grund ohne Formel. Sie zeichnet die Linien, auf denen $\varphi$ ganzzahlig ist. Von einer Linie zur nächsthöheren nimmt $\varphi$ um 1 zu. Ein dazwischen ansteigender Weg verrichtet also eine Einheit Arbeit, die sich unterwegs stetig ansammelt. Wie verschlungen der Weg auch ist: Zusätzliche Querungen kommen paarweise, einmal aufwärts und einmal abwärts, und heben sich auf. Jeder Weg von A nach B kreuzt daher netto gleich viele Linien. Diese Anzahl ergibt zusammen mit den Bruchteilen einer Einheit an den beiden Enden $\varphi(B) - \varphi(A)$.

Ein Feld, dessen Arbeit nur von den Endpunkten des Wegs abhängt, heißt konservativ. In einem solchen Feld ist die Arbeit entlang jedes geschlossenen Wegs null, weil er dort endet, wo er beginnt.

Das Rotationsfeld $F = (-y, x)$ hat kein Potenzial. Von $(2, 0)$ nach $(-2, 0)$ gilt auf dem oberen Halbkreis über die ganze Länge $2\pi$ hinweg $F\cdot T = 2$, also $W = 4\pi \approx 12.57$. Auf der x-Achse wirkt die Kraft quer zum Weg, und es gilt $W = 0$. Über den Halbkreis hin und auf der Achse zurück entsteht ein geschlossener Weg mit der Arbeit $4\pi$.

Die Wendeltreppe $F = (-y, x)/(x^2 + y^2)$ liegt dazwischen. Ihre Rotation ist überall, wo sie definiert ist, null, und in der Nähe jedes Punkts außer dem Ursprung ist sie der Gradient des Polarwinkels $\theta$. Doch keine einzelne Winkelfunktion gilt rundherum, denn eine Umrundung des Ursprungs gegen den Uhrzeigersinn addiert $2\pi$. Ihre Höhenlinien sind Strahlen. Die Arbeit ist die Änderung von $\theta$, wenn man den Winkel entlang des Wegs stetig verfolgt: $2\pi \approx 6.28$ bei einer Umrundung des Ursprungs gegen den Uhrzeigersinn, aber 0 auf einem Kreis, der ihn nicht umschließt.