曲线积分

一个物体沿路$C$从A走到B，力场$F$一路推着它。在每一小步$ds$上，只有力沿前进方向的分量做功，这一步的功是$F\cdot T\,ds$，其中$T$是单位切向量。把这些小段加起来，就是$F$沿$C$的曲线积分，也就是功$W$。

沿路的黄色小箭头表示$F\cdot T$：力帮着走的地方，箭头朝前、实心；力拖后腿的地方，箭头朝后、空心。视图下方的图把$F\cdot T$对从A起走过的路程$s$画出来。横轴下方画斜线的面积算作负的，这样，曲线下到红色S为止的面积就是已经做的功，全部面积就是$W$。曲线积分就这样变成了关于$s$的普通积分。

S处的力分成两部分：沿路的部分画成黄色，横过路的部分画得很淡，它不做功。在径向场$F = (x, y)$里沿以原点为圆心、半径为2的圆走一圈，力的大小一直是2，却始终朝外、横在路上，所以$F\cdot T = 0$，$W = 0$。功不是力的大小乘路的长度。“反向”沿同一条路倒着走，$T$变成$-T$，$W$变成$-W$。

在梯度场$F = \nabla\varphi$里，由链式法则，$F\cdot T\,ds$就是这一小步上$\varphi$的变化。走到S为止的功是$\varphi(S) - \varphi(A)$；$\nabla\varphi$连续时，沿任何一条分段光滑的路，功都只取决于两端：

“等高线”不用公式就能说明为什么。它画出$\varphi$取整数的那些线。从一条线往上到下一条线，$\varphi$增加1，所以路在这两条线之间往上走一段，就做一个单位的功，这个功是一路连续攒起来的。路不管怎么绕，多出来的穿越总是一上一下成对出现，互相抵消。所以从A到B的每一条路，净穿过的条数都一样；这个条数再加上两端不足一个单位的部分，就是$\varphi(B) - \varphi(A)$。

功只取决于起点和终点的场，叫保守场。在保守场里，每一条闭合路的功都是0，因为它的终点就是起点。

旋转场$F = (-y, x)$没有势。从$(2, 0)$到$(-2, 0)$，走上半圆时一路$F\cdot T = 2$，路长$2\pi$，所以$W = 4\pi \approx 12.57$。沿x轴走，力横在路上，$W = 0$。从上半圆过去、再沿x轴回来，是一条功为$4\pi$的闭合路。

螺旋楼梯$F = (-y, x)/(x^2 + y^2)$介于两者之间。它在有定义的地方旋度都是0；在原点以外任何一点附近，它都是极角$\theta$的梯度。可是找不到一个绕原点一整圈都适用的角度函数，因为逆时针绕原点转一圈，角度就多出$2\pi$。它的等高线是一条条射线，功就是沿路连续记下的$\theta$的变化：逆时针绕原点一圈，功是$2\pi \approx 6.28$；不包围原点的圆，功是0。