点积

对两个非零向量$a = (a_1, a_2)$、$b = (b_1, b_2)$，点积有两种定义。一种把对应的坐标相乘再相加；另一种把两个向量的长度和它们夹角θ的余弦乘起来，完全不提坐标。在这一页，你可以在两个不动的向量下面转动坐标轴，看为什么只要坐标轴互相垂直、单位长度相同，两种算法总得到同一个数。

向量在屏幕上不动，转的是下面的坐标轴。坐标轴转过角φ后，每个向量都有了新坐标，加撇来写，比如$a_1' = a_1\cos\varphi + a_2\sin\varphi$、$a_2' = -a_1\sin\varphi + a_2\cos\varphi$。图下方的求和条把两项$a_1'b_1'$和$a_2'b_2'$首尾相接排起来。转动坐标轴，两项都在变，这一排的终点却不动。默认的$a = (3, 1)$、$b = (1, 2)$，和是$3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$；转到135°，两项是−1和6，加起来还是5。

把新坐标代进去展开，就能看出原因。两个乘积的交叉项一次带正号、一次带负号，正好抵消，剩下的用$\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$合并。“两项的展开”用当前的数字画出这个计算。

既然每一组转过的坐标轴下和都一样，就挑最好算的一组：让x轴对准a。这时$a = (|a|, 0)$，第二项是0，b的第一个坐标是$|b|\cos\theta$，也就是b沿a的方向伸出多远，带正负号。这就是b在a上的投影。所以$a_1b_1 + a_2b_2 = |a| \cdot |b|\cos\theta$：几何公式就是x轴对准a时的坐标公式。改成对准b，就是|b|乘a在b上的投影。

长度都是正的，所以点积的符号就是$\cos\theta$的符号：锐角为正，直角为0，钝角为负，这时b的投影落在a的反方向。两个非零向量互相垂直，当且仅当点积为0，比如(3, 1)和(−1, 3)。反过来用这个公式，就能由坐标求出夹角：

“等值线”回答另一个问题：固定a ≠ 0，哪些向量x满足$a \cdot x = c$？这样的x在a上的投影都是$c/|a|$，所以它们排成一条垂直于a的直线。c每差1，两条直线就相隔$1/|a|$，a越长，线排得越密。a = (3, 1)时，过b = (1, 2)的那条是$3x + y = 5$，(0, 5)和(2, −1)也在上面。这就是直线的法向式，a是它的法向量。