Produto escalar

Para dois vetores não nulos $a = (a_1, a_2)$ e $b = (b_1, b_2)$, o produto escalar tem duas definições. Uma multiplica as coordenadas correspondentes e soma-as. A outra multiplica os dois comprimentos pelo cosseno do ângulo θ entre os vetores, sem mencionar coordenadas. Aqui pode rodar os eixos sob dois vetores fixos e ver por que razão as duas expressões coincidem sempre, desde que os eixos sejam perpendiculares e tenham a mesma unidade de comprimento.

Os vetores mantêm-se no mesmo lugar no ecrã, enquanto os eixos rodam sob eles. Após uma rotação de ângulo φ, cada vetor tem novas coordenadas, escritas com plicas, como $a_1' = a_1\cos\varphi + a_2\sin\varphi$ e $a_2' = -a_1\sin\varphi + a_2\cos\varphi$. A barra da soma sob o plano coloca os termos $a_1'b_1'$ e $a_2'b_2'$ ponta a ponta. Enquanto os eixos rodam, ambos os termos mudam, mas a extremidade da fila mantém-se no mesmo lugar. Com os valores iniciais $a = (3, 1)$ e $b = (1, 2)$, a soma é $3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$. Após uma rotação de 135°, os termos são −1 e 6, e continuam a somar 5.

Desenvolver as novas coordenadas mostra porquê. Os termos cruzados dos dois produtos aparecem uma vez com sinal positivo e outra com sinal negativo, e $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$ simplifica o resto. Desenvolvimento dos dois termos representa este cálculo com os números atuais.

Como a soma é a mesma para qualquer rotação dos eixos, escolha os mais simples: o eixo x na direção de a. Então $a = (|a|, 0)$, o segundo termo é 0 e a primeira coordenada de b é $|b|\cos\theta$, a distância com sinal que b alcança na direção de a. Esta é a projeção de b em a. Assim, $a_1b_1 + a_2b_2 = |a| \cdot |b|\cos\theta$: a fórmula geométrica é a fórmula em coordenadas lida nos eixos alinhados com a. Na direção de b, é |b| vezes a projeção de a em b.

Os comprimentos são positivos, pelo que o produto escalar tem o sinal de $\cos\theta$. É positivo para um ângulo agudo, 0 para um ângulo reto e negativo para um ângulo obtuso, em que a projeção de b fica no sentido oposto a a. Dois vetores não nulos são perpendiculares se e só se o seu produto escalar for 0, como acontece com (3, 1) e (−1, 3). Lida ao contrário, a fórmula dá o ângulo a partir das coordenadas:

A opção Linhas de nível responde a outra pergunta: para a ≠ 0 fixo, que vetores x satisfazem $a \cdot x = c$? Todos esses vetores x têm a mesma projeção em a, $c/|a|$, pelo que formam uma reta perpendicular a a. As retas cujos valores de c diferem em 1 estão separadas por $1/|a|$; por isso, quanto mais comprido for a, mais próximas ficam. Com a = (3, 1), a reta que passa por b = (1, 2) é $3x + y = 5$, e (0, 5) e (2, −1) também lhe pertencem. Esta é a forma normal da equação de uma reta, com a como vetor normal.