Producto escalar

Para dos vectores no nulos $a = (a_1, a_2)$ y $b = (b_1, b_2)$, el producto escalar tiene dos definiciones. Una multiplica las coordenadas correspondientes y las suma. La otra multiplica las dos longitudes por el coseno del ángulo θ entre los vectores, sin mencionar coordenadas. Aquí puedes girar los ejes bajo dos vectores fijos y ver por qué ambas expresiones siempre coinciden, siempre que los ejes sean perpendiculares y tengan la misma unidad de longitud.

Los vectores permanecen en su sitio en la pantalla mientras los ejes giran bajo ellos. Al girar un ángulo φ, los ejes dan a cada vector nuevas coordenadas, que se escriben con primas, como $a_1' = a_1\cos\varphi + a_2\sin\varphi$ y $a_2' = -a_1\sin\varphi + a_2\cos\varphi$. La barra de suma bajo el plano coloca los términos $a_1'b_1'$ y $a_2'b_2'$ uno a continuación del otro. Al girar los ejes, ambos términos cambian, pero el extremo de la fila permanece fijo. Con los valores iniciales $a = (3, 1)$ y $b = (1, 2)$, la suma es $3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$. Tras girar 135°, los términos son −1 y 6, y siguen sumando 5.

Al desarrollar las nuevas coordenadas se ve por qué. Los términos cruzados de los dos productos aparecen una vez con signo positivo y otra con signo negativo, y $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$ simplifica el resto. La opción Los dos términos desarrollados muestra este cálculo con los números actuales.

Como la suma es la misma para cualquier giro de los ejes, elijamos los más sencillos: el eje x en la dirección de a. Entonces $a = (|a|, 0)$, el segundo término es 0 y la primera coordenada de b es $|b|\cos\theta$, la distancia con signo que alcanza b en la dirección de a. Es la proyección escalar de b sobre a. Así, $a_1b_1 + a_2b_2 = |a| \cdot |b|\cos\theta$: la fórmula geométrica es la fórmula en coordenadas leída en los ejes alineados con a. En la dirección de b, es |b| por la proyección de a sobre b.

Las longitudes son positivas, así que el producto escalar tiene el signo de $\cos\theta$. Es positivo para un ángulo agudo, 0 para un ángulo recto y negativo para uno obtuso, donde la proyección de b cae en el sentido opuesto a a. Dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si su producto escalar es 0, como ocurre con (3, 1) y (−1, 3). Leída al revés, la fórmula permite obtener el ángulo a partir de las coordenadas:

La opción Líneas de nivel responde a otra pregunta: para un a ≠ 0 fijo, ¿qué vectores x cumplen $a \cdot x = c$? Todos esos vectores x tienen la misma proyección sobre a, $c/|a|$, así que forman una recta perpendicular a a. Las rectas cuyos valores de c difieren en 1 están separadas por $1/|a|$; por tanto, cuanto más largo es a, más juntas están. Con a = (3, 1), la recta que pasa por b = (1, 2) es $3x + y = 5$, y (0, 5) y (2, −1) también están en ella. Esta es la forma normal de la ecuación de una recta, con a como vector normal.