Skaler çarpım

Sıfırdan farklı iki vektör $a = (a_1, a_2)$ ve $b = (b_1, b_2)$ için skaler çarpımın iki tanımı vardır. Biri karşılıklı koordinatları çarpıp toplar. Diğeri, koordinatlardan hiç söz etmeden iki uzunluğu aralarındaki θ açısının kosinüsüyle çarpar. Burada sabit duran iki vektörün altındaki eksenleri döndürerek, eksenler birbirine dik ve birim uzunlukları aynı olduğu sürece iki tanımın neden hep aynı sonucu verdiğini görebilirsiniz.

Vektörler ekranda yerlerinde dururken eksenler altlarında döner. φ açısı kadar döndürülen eksenlerde her vektörün yeni koordinatları olur; bunlar $a_1' = a_1\cos\varphi + a_2\sin\varphi$ ve $a_2' = -a_1\sin\varphi + a_2\cos\varphi$ gibi, ′ işaretiyle gösterilir. Düzlemin altındaki toplam çubuğu $a_1'b_1'$ ve $a_2'b_2'$ terimlerini uç uca yerleştirir. Eksenler döndükçe iki terim de değişir, ama sıranın sonu yerinde kalır. Başlangıçtaki $a = (3, 1)$ ve $b = (1, 2)$ için toplam $3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$ olur. 135° döndürüldüğünde terimler −1 ve 6 olur; yine 5 ederler.

Yeni koordinatların çarpımlarını açmak bunun nedenini gösterir. İki çarpımdaki çapraz terimler bir kez artı, bir kez eksi işaretiyle ortaya çıkar; kalanlar $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$ sayesinde birleşir. İki terimin açılımı bunu güncel sayılarla gösterir.

Toplam her döndürülmüş eksen çiftinde aynı olduğuna göre en kolayını seçelim: x ekseni a yönünde olsun. Bu durumda $a = (|a|, 0)$, ikinci terim 0 ve b vektörünün ilk koordinatı $|b|\cos\theta$ olur. Bu, b vektörünün a yönünde ne kadar uzandığını işaretiyle birlikte gösterir; b vektörünün a üzerindeki skaler izdüşümüdür. Dolayısıyla $a_1b_1 + a_2b_2 = |a| \cdot |b|\cos\theta$: geometrik formül, koordinat formülünün a yönündeki eksenlerde okunmuş hâlidir. b yönünde ise |b| ile a vektörünün b üzerindeki skaler izdüşümü çarpılır.

Uzunluklar pozitif olduğundan skaler çarpımın işareti $\cos\theta$ ile aynıdır. Dar açıda pozitif, dik açıda 0, geniş açıda ise negatiftir; son durumda b vektörünün izdüşümü a yönünün tersine düşer. Sıfırdan farklı iki vektör, ancak ve ancak skaler çarpımları 0 ise diktir; (3, 1) ve (−1, 3) gibi. Tersinden bakıldığında formül, koordinatlardan açıyı bulmayı sağlar:

Seviye doğruları başka bir soruyu yanıtlar: Sabit bir a ≠ 0 için hangi x vektörleri $a \cdot x = c$ koşulunu sağlar? Bu x vektörlerinin hepsinin a üzerindeki skaler izdüşümü aynıdır: $c/|a|$. Bu yüzden a vektörüne dik bir doğru oluştururlar. c değerleri 1 farklı olan doğruların arası $1/|a|$ kadardır; a uzadıkça doğrular sıklaşır. a = (3, 1) için b = (1, 2) noktasından geçen doğru $3x + y = 5$ olur; (0, 5) ve (2, −1) de bu doğru üzerindedir. Bu, normal vektörü a olan bir doğrunun normal biçimidir.