Dik izdüşüm

Dik izdüşüm, bir alt uzayda verilen vektöre en yakın noktayı bulur. Burada $S$ alt uzayı, O başlangıç noktasından geçen bir düzlem veya doğrudur; verilen vektör ise $\vec b$ olur. Bu vektörün $\vec p$ izdüşümü $S$ içinde bulunur ve hata $\vec e = \vec b - \vec p$, $S$ ile dik açı yapar. $\vec b$ vektörünü hareket ettirebilir, $S$ alt uzayını değiştirebilir, $\vec p$ ile $S$ içindeki diğer noktaları karşılaştırabilir ve $\vec b$ vektörünün iki eksendeki gölgelerinin ne zaman $\vec p$ sonucunu verdiğini görebilirsiniz.

Dik açı neden en yakın noktayı verir? $S$ içinde başka bir $q$ noktası alın. $q$ noktasından $\vec p$ noktasına uzanan doğru parçası $S$ içinde olduğundan $\vec e$ ile diktir. $\vec b$, $\vec p$ ve $q$ noktaları, dik açısı $\vec p$ noktasında olan bir üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısı şunu verir:

Dolayısıyla $q$ ile $\vec p$ aynı nokta değilse, $\vec b$ noktasının $q$ noktasına uzaklığı, $\vec p$ noktasına uzaklığından büyüktür. Tersi de geçerlidir. $\vec e$ vektörü $S$ içindeki bir yöne eğilseydi, $\vec p$ noktasını o yönde biraz hareket ettirmek onu $\vec b$ noktasına yaklaştırırdı. Bu yüzden bir düzlemde en yakın nokta, $\vec e$ vektörünün hem $\vec u$ hem de $\vec w$ ile dik olduğu noktadır. Bir doğru üzerinde ise $\vec u$ ile dik olması yeterlidir.

$\vec p$ vektörünü bulmak bu dik açı koşullarını çözmeye dayanır. Bir doğru üzerinde $\vec p$, $\vec u$ vektörünün bir katıdır ve $\vec e\cdot\vec u = 0$ koşulu bu katsayıyı belirler:

Bir düzlemde $\vec p = c_1\vec u + c_2\vec w$ yazılır. $\vec e\cdot\vec u = 0$ ve $\vec e\cdot\vec w = 0$ koşulları, $c_1$ ve $c_2$ için iki doğrusal denkleme dönüşür; bunlara normal denklemler denir:

Okuma ekranı $\vec p$ vektörünü hem koordinatlarıyla hem de $\vec u$ ve $\vec w$ vektörlerinin bir birleşimi olarak gösterir. $\vec u$ ve $\vec w$ vektörlerini aynı düzlem içinde sürükleyin: katsayılar değişir ama $\vec p$ değişmez. İzdüşüm yalnızca alt uzaya bağlıdır; onu tanımlamak için kullanılan vektörlere bağlı değildir.

$\vec u$ ve $\vec w$ dik olduğunda iki denklem birbirinden ayrılır. Her katsayı yalnızca bir eksene bağlı olur ve $\vec p$, $\vec b$ vektörünün iki eksendeki gölgelerinin toplamıdır:

Eğik eksenlerde bu kestirme yol genellikle işe yaramaz. Her gölge, diğer eksen yokmuş gibi hesaplanır; bu yüzden toplamları $s$ genellikle $\vec p$ ile çakışmaz. Böyle olduğunda okuma ekranı, $\vec b - s$ vektörünün iki dik açı koşulundan en az birini sağlamadığını gösterir. w’yi u’ya dik yap, $\vec w$ vektörünü $\vec u$ vektörüne dik bileşeniyle değiştirir; bu, Gram–Schmidt sürecinin bir adımıdır. Düzlem aynı kalır, fakat artık iki eksen birbirine diktir ve gölgelerin toplamı her $\vec b$ için $\vec p$ olur.

$(1, 1, 1)$ noktasından geçen köşegen doğrusu tanıdık bir örnek verir. $\vec b$ vektörünün bu doğru üzerine izdüşümünü almak, $\vec b$ vektörünün her bileşenini bileşenlerin ortalamasıyla değiştirir; $|\vec e|^2$ ise bu ortalamadan sapmaların kareleri toplamıdır. En küçük kareler regresyonu da aynı tür izdüşümü kullanır.