Proiezione ortogonale

La proiezione ortogonale trova il punto di un sottospazio più vicino a un vettore dato. Qui il sottospazio $S$ è un piano o una retta passante per l’origine O e il vettore è $\vec b$. La sua proiezione $\vec p$ appartiene a $S$, e l’errore $\vec e = \vec b - \vec p$ è perpendicolare a $S$. Puoi muovere $\vec b$ e modificare $S$, confrontare $\vec p$ con qualsiasi altro punto di $S$ e vedere quando le ombre di $\vec b$ su due assi sommate danno $\vec p$.

Perché l’angolo retto dà il punto più vicino? Prendi un altro punto $q$ in $S$. Il segmento da $q$ a $\vec p$ appartiene a $S$, quindi è perpendicolare a $\vec e$. I punti $\vec b$, $\vec p$ e $q$ formano un triangolo rettangolo con l’angolo retto in $\vec p$, e Pitagora dà

Quindi $\vec b$ è più lontano da $q$ che da $\vec p$, a meno che $q$ non sia proprio $\vec p$. Vale anche il contrario: se $\vec e$ fosse inclinato verso una direzione di $S$, spostare leggermente $\vec p$ in quella direzione lo avvicinerebbe a $\vec b$. In un piano, il punto più vicino è dunque quello in cui $\vec e$ è perpendicolare sia a $\vec u$ sia a $\vec w$. Su una retta, basta la perpendicolarità a $\vec u$.

Trovare $\vec p$ si riduce a queste condizioni di angolo retto. Su una retta, $\vec p$ è un multiplo di $\vec u$, e la condizione $\vec e\cdot\vec u = 0$ determina il multiplo:

In un piano, scriviamo $\vec p = c_1\vec u + c_2\vec w$. Le due condizioni $\vec e\cdot\vec u = 0$ e $\vec e\cdot\vec w = 0$ diventano due equazioni lineari per $c_1$ e $c_2$, dette equazioni normali:

La lettura mostra $\vec p$ sia in coordinate sia come combinazione di $\vec u$ e $\vec w$. Trascina $\vec u$ e $\vec w$ all’interno dello stesso piano: i coefficienti cambiano, ma $\vec p$ no. La proiezione dipende solo dal sottospazio, non dai vettori usati per descriverlo.

Quando $\vec u$ e $\vec w$ sono perpendicolari, le due equazioni si disaccoppiano. Ogni coefficiente dipende da un solo asse e $\vec p$ è semplicemente la somma delle ombre di $\vec b$ sui due assi:

Con assi obliqui, questa scorciatoia di solito non funziona. Ogni ombra è calcolata come se l’altro asse non esistesse, quindi la loro somma $s$ di solito non coincide con $\vec p$. In tal caso, la lettura mostra che $\vec b - s$ non soddisfa almeno una delle due condizioni di perpendicolarità. Rendi w perpendicolare a u sostituisce $\vec w$ con la sua componente perpendicolare a $\vec u$, un passo del procedimento di Gram–Schmidt. Il piano resta lo stesso, ma ora i suoi assi sono perpendicolari e le ombre sommate danno $\vec p$ per ogni $\vec b$.

La diagonale passante per $(1, 1, 1)$ offre un esempio familiare. Proiettare $\vec b$ su questa retta sostituisce ogni componente di $\vec b$ con la media di tutte le componenti, e $|\vec e|^2$ è la somma dei quadrati degli scarti da tale media. La regressione ai minimi quadrati usa lo stesso tipo di proiezione.