Math

الجبر الخطي · الإسقاط المتعامد

الإسقاط المتعامد

الإسقاط المتعامد للمتجه ⁦b⁩ على فضاء جزئي هو نقطة الفضاء الجزئي ⁦p⁩ الأقرب إلى ⁦b⁩. الخطأ ⁦e = b − p⁩ عمودي على الفضاء الجزئي، وكل نقطة أخرى ⁦q⁩ فيه أبعد: ⁦|b − q|² = |e|² + |p − q|²⁩.

الإسقاط المتعامد في هذا التصوّر

يجد الإسقاط المتعامد نقطة الفضاء الجزئي الأقرب إلى متجه معطى. هنا الفضاء الجزئي ⁦SS⁩ مستوى أو مستقيم يمر بنقطة الأصل ⁦O⁩، والمتجه هو ⁦b⃗\vec b⁩. يقع إسقاطه ⁦p⃗\vec p⁩ في ⁦SS⁩، ويكون الخطأ ⁦e⃗=b⃗−p⃗\vec e = \vec b - \vec p⁩ عموديًا على ⁦SS⁩. يمكنك تحريك ⁦b⃗\vec b⁩ وتغيير ⁦SS⁩، ومقارنة ⁦p⃗\vec p⁩ بأي نقطة أخرى من ⁦SS⁩، ورؤية متى يكون مجموع ظلي ⁦b⃗\vec b⁩ على محورين مساويًا لـ⁦p⃗\vec p⁩.

لماذا تعطي الزاوية القائمة أقرب نقطة؟ خذ أي نقطة أخرى ⁦qq⁩ في ⁦SS⁩. تقع القطعة من ⁦qq⁩ إلى ⁦p⃗\vec p⁩ في ⁦SS⁩، لذا فهي عمودية على ⁦e⃗\vec e⁩. تشكّل النقاط ⁦b⃗\vec b⁩ و⁦p⃗\vec p⁩ و⁦qq⁩ مثلثًا قائم الزاوية عند ⁦p⃗\vec p⁩، وبحسب فيثاغورس نحصل على

كل نقطة أخرى من ⁦S⁩ أبعد
∣b⃗−q∣2=∣e⃗∣2+∣p⃗−q∣2|\vec b - q|^2 = |\vec e|^2 + |\vec p - q|^2

إذن تبعد ⁦b⃗\vec b⁩ عن ⁦qq⁩ أكثر مما تبعد عن ⁦p⃗\vec p⁩، إلا إذا كانت ⁦qq⁩ هي ⁦p⃗\vec p⁩ نفسها. والعكس صحيح أيضًا. لو مال ⁦e⃗\vec e⁩ نحو اتجاه ما في ⁦SS⁩، فإن تحريك ⁦p⃗\vec p⁩ قليلًا في ذلك الاتجاه سيقرّبها من ⁦b⃗\vec b⁩. لذا، في المستوى، أقرب نقطة هي التي يكون عندها ⁦e⃗\vec e⁩ عموديًا على كل من ⁦u⃗\vec u⁩ و⁦w⃗\vec w⁩. وعلى المستقيم، يكفي التعامد مع ⁦u⃗\vec u⁩.

إيجاد ⁦p⃗\vec p⁩ يرجع إلى هذه الشروط الخاصة بالزوايا القائمة. على مستقيم، يكون ⁦p⃗\vec p⁩ مضاعفًا للمتجه ⁦u⃗\vec u⁩، ويحدّد الشرط ⁦e⃗⋅u⃗=0\vec e\cdot\vec u = 0⁩ معامل الضرب:

الإسقاط على مستقيم
p⃗=u⃗⋅b⃗u⃗⋅u⃗ u⃗\vec p = \frac{\vec u\cdot\vec b}{\vec u\cdot\vec u}\,\vec u

في المستوى، نكتب ⁦p⃗=c1u⃗+c2w⃗\vec p = c_1\vec u + c_2\vec w⁩. يتحول الشرطان ⁦e⃗⋅u⃗=0\vec e\cdot\vec u = 0⁩ و⁦e⃗⋅w⃗=0\vec e\cdot\vec w = 0⁩ إلى معادلتين خطيتين في ⁦c1c_1⁩ و⁦c2c_2⁩، تُسمّيان المعادلتين الطبيعيتين:

المعادلتان الطبيعيتان
(u⃗⋅u⃗) c1+(u⃗⋅w⃗) c2=u⃗⋅b⃗,(w⃗⋅u⃗) c1+(w⃗⋅w⃗) c2=w⃗⋅b⃗(\vec u\cdot\vec u)\,c_1 + (\vec u\cdot\vec w)\,c_2 = \vec u\cdot\vec b,\qquad (\vec w\cdot\vec u)\,c_1 + (\vec w\cdot\vec w)\,c_2 = \vec w\cdot\vec b

تعرض القراءات ⁦p⃗\vec p⁩ بإحداثياته وبوصفه تركيبًا خطيًا من ⁦u⃗\vec u⁩ و⁦w⃗\vec w⁩. اسحب ⁦u⃗\vec u⁩ و⁦w⃗\vec w⁩ داخل المستوى نفسه: تتغير المعاملات، لكن ⁦p⃗\vec p⁩ لا يتغير. يعتمد الإسقاط على الفضاء الجزئي وحده، لا على المتجهات المستخدمة لوصفه.

عندما يتعامد ⁦u⃗\vec u⁩ و⁦w⃗\vec w⁩، تنفصل المعادلتان. عندئذ يعتمد كل معامل على محور واحد فقط، ويكون ⁦p⃗\vec p⁩ ببساطة مجموع ظلي ⁦b⃗\vec b⁩ على المحورين:

فقط على محورين متعامدين
p⃗=b⃗⋅u⃗u⃗⋅u⃗ u⃗+b⃗⋅w⃗w⃗⋅w⃗ w⃗\vec p = \frac{\vec b\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u}\,\vec u + \frac{\vec b\cdot\vec w}{\vec w\cdot\vec w}\,\vec w

على محورين مائلين، لا ينجح هذا الاختصار عادة. يُحسب كل ظل وكأن المحور الآخر غير موجود، لذلك لا يقع مجموعهما ⁦ss⁩ عادة عند ⁦p⃗\vec p⁩. وحين يحدث ذلك، تُظهر القراءات أن ⁦b⃗−s\vec b - s⁩ لا يحقق واحدًا على الأقل من شرطي الزاوية القائمة. يستبدل زر جعل ⁦w⁩ عموديًا على ⁦u⁩ المتجه ⁦w⃗\vec w⁩ بمركّبته العمودية على ⁦u⃗\vec u⁩، وهذه خطوة من عملية غرام–شميدت. يبقى المستوى نفسه، لكن محوريه يصبحان متعامدين، ويساوي مجموع الظلين ⁦p⃗\vec p⁩ لأي ⁦b⃗\vec b⁩.

يقدّم المستقيم القطري المار بـ⁦(1,1,1)(1, 1, 1)⁩ مثالًا مألوفًا. إسقاط ⁦b⃗\vec b⁩ عليه يستبدل كل مركّبة من ⁦b⃗\vec b⁩ بمتوسط مركّباته، ويكون ⁦∣e⃗∣2|\vec e|^2⁩ مجموع مربعات الانحرافات عن ذلك المتوسط. يستخدم انحدار المربعات الصغرى النوع نفسه من الإسقاط.

عناصر التحكم

  • تحرّك النقطة على ⁦b⃗\vec b⁩ المتجه موازيًا لـ⁦SS⁩، ويتبعه ⁦p⃗\vec p⁩. أما الحلقة الصغيرة خارج النقطة فتحرّك ⁦b⃗\vec b⁩ عموديًا على ⁦SS⁩، ويبقى ⁦p⃗\vec p⁩ ثابتًا.
  • عند اختيار مستوى، لا يمكن سحب ⁦u⃗\vec u⁩ و⁦w⃗\vec w⁩ إلا داخل مستواهما. لتغيير المستوى، اكتب إحداثيات جديدة أو استخدم مفاتيح القيم.

مواضيع ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Projection (linear algebra) (الإنجليزية).