الأساس والإحداثيات: تصوّر تفاعلي

الأساس والإحداثيات في هذا التصوّر

أساس المستوى زوج مرتب من المتجهات $b_1, b_2$ غير واقعين على مستقيم واحد. عندئذ يمكن كتابة كل متجه $x$ بطريقة وحيدة على الصورة $x = c_1b_1 + c_2b_2$ . العددان $c_1, c_2$ هما إحداثيات المتجه $x$ في الأساس $B = (b_1, b_2)$ ، وتُكتب $[x]_B$ .

العرض الابتدائي: السهم نفسه في الأساس القياسي وفي B

\begin{gathered} x = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[0.6ex] [x]_B = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{gathered}

الصورة اليسرى هي الشبكة القياسية: $b_1$ و $b_2$ سهمان داكنان، مع الشبكة المائلة التي يصنعانها، و $x$ بالأزرق. الصورة اليمنى مخطط إحداثيات B، حيث $b_1$ و $b_2$ ضلعا مربع الوحدة و $x$ في موضع إحداثياته. اسحب $b_1$ أو $b_2$ ، فلا يتحرك $x$ في اليسار. تتغير الشبكة والأعداد فقط، لأن الإحداثيات قراءة بمسطرة وليست خاصية للسهم.

لقراءة الإحداثيات، أعد $x$ إلى كل محور من $B$ في اتجاه موازٍ لمتجه الأساس الآخر. بالحركة الموازية لـ $b_2$ يصل إلى محور $b_1$ عند $c_1b_1$ ، وبالحركة الموازية لـ $b_1$ يصل إلى محور $b_2$ عند $c_2b_2$ . هاتان هما القطعتان الصفراوان، اللتان تشكلان مع الخطوط المتقطعة من $x$ متوازي أضلاع قطره $x$ . ولأن $b_1$ و $b_2$ ليسا على مستقيم واحد، تلتقي كل حركة بمحورها في نقطة وحيدة؛ لذا توجد الإحداثيات وتكون وحيدة.

استبدل $b_1$ بـ $k\,b_1$ حيث $k \ne 0$ ، وأبقِ $b_2$ ثابتًا. بما أن $x = (c_1/k)(k\,b_1) + c_2b_2$ ، يصبح الإحداثي الأول $c_1/k$ ويبقى الثاني كما هو: المسطرة ذات الطول المضاعف تعطي نصف القراءة. أما تدوير متجه أساس فلا يتبع هذه القاعدة، وقد يتغير الإحداثيان معًا.

ضع $b_1$ و $b_2$ جنبًا إلى جنب ليكونا عمودي مصفوفة $P$ . عندئذ تعني $x = c_1b_1 + c_2b_2$ العلاقة $x = P\,[x]_B$ : تحوّل $P$ الإحداثيات في $B$ إلى القياسية، ويحتاج الاتجاه العكسي إلى $P^{-1}$ .

تغيير الإحداثيات بين B والأساس القياسي E

\begin{gathered} P = \big( [b_1]_E \;\; [b_2]_E \big) \\[0.6ex] [x]_E = P\,[x]_B, \quad [x]_B = P^{-1}[x]_E \end{gathered}

مخطط B هو المستوى كله بعد تطبيق $P^{-1}$ عليه. يرسل $b_1$ و $b_2$ إلى $(1, 0)$ و $(0, 1)$ ، فتكون شبكة $B$ مربعة هناك، وقد تصبح الشبكة القياسية مائلة. يقع متجها الأساس القياسي $\hat\imath$ و $\hat\jmath$ على عمودي $P^{-1}$ . يُرسم المخطط بإحداثيات B، ولا يحفظ جميع الأطوال والزوايا إلا عندما يكون $b_1$ و $b_2$ متجهي وحدة متعامدين.

اختصار مغرٍ هو إسقاط عمودين من $x$ على مستقيمي $b_1$ و $b_2$ وقراءة موضعي القدمين. يعرض خيار أقدام الأعمدة هذه القراءة. تعطي الإحداثيات عندما $b_1 \perp b_2$ ، ولمتجهي وحدة متعامدين تكون كل قراءة هي الضرب القياسي $x\cdot b_i$ مباشرة. في أساس مائل تكون القراءة خاطئة لكل $x$ ما عدا 0.

قراءة الأقدام، ومتى تكون هي الإحداثيات

\begin{gathered} f_i = \frac{x \cdot b_i}{|b_i|^2} \\[0.6ex] b_1 \perp b_2 \;\Longrightarrow\; c_i = f_i \end{gathered}

متجهان على مستقيم واحد لا يشكّلان أساسًا. عندئذ $\det P = 0$ وتنهار الشبكة على المستقيم، أو على O إذا كان المتجهان صفريين. إذا وقع $x$ في الشبكة المنهارة فله قراءات لا نهائية: عند $b_2 = 2b_1 = (2, 2)$ و $x = (3, 3)$ يصلح كل زوج $(c_1, c_2)$ يحقق $c_1 + 2c_2 = 3$ . أما إذا وقع $x$ خارجها فلا توجد قراءة.

ما يجدر ملاحظته

سحب $b_1$ أو $b_2$ لا يحوّل $x$ . في صفحة التحويل الخطي يتحرك المتجه مع الشبكة. هنا تتغير المسطرة فقط.
الأعداد الصفراء إحداثيات في $B$ ، وتُكتب بجوار متجه الأساس الذي تحدد مضاعفه، كما في $2b_1$ . الإحداثيات القياسية على تدريجات حواف الصورة اليسرى.

التحكم

اسحب $x$ في المخطط لضبط إحداثياته مباشرة. عند تحريك المؤشر فوق صورة، تحدد حلقة سماوية صغيرة النقطة نفسها في الصورة الأخرى.

مفاهيم ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Basis (linear algebra) (الإنجليزية); ويكيبيديا: Change of basis (الإنجليزية).