基底與座標

平面的一組基底是有順序且不共線的兩個向量$b_1, b_2$。此時每個向量$x$都能以唯一方式寫成$x = c_1b_1 + c_2b_2$，數字$c_1, c_2$就是$x$在基底$B = (b_1, b_2)$下的座標，記作$[x]_B$。

左圖是標準網格：$b_1$、$b_2$是墨色箭頭，並構成斜網格，$x$是藍色箭頭。右圖是B座標圖，$b_1$與$b_2$在這裡是單位正方形的兩邊，$x$落在其座標上。拖曳$b_1$或$b_2$，左圖中的$x$不動。改變的只有網格與數字，因為座標是用尺量出的讀數，不是箭頭的屬性。

要讀取座標，就讓$x$沿另一個基底向量的方向退回$B$的各軸。平行於$b_2$移動，會在$c_1b_1$處碰到$b_1$軸；平行於$b_1$移動，會在$c_2b_2$處碰到$b_2$軸。這就是兩段黃色線段；它們與從$x$出發的虛線構成平行四邊形，對角線是$x$。因為$b_1$、$b_2$不共線，每次退回都與軸恰好交於一點，所以座標存在且唯一。

將$b_1$改為$k\,b_1$，其中$k \ne 0$，並保持$b_2$不變。由於$x = (c_1/k)(k\,b_1) + c_2b_2$，第一個座標變成$c_1/k$，第二個不變：尺長兩倍，讀數就減半。旋轉基底向量則沒有這個規律，兩個座標都可能改變。

將$b_1$與$b_2$並排放成矩陣$P$的兩個直行。$x = c_1b_1 + c_2b_2$也就是$x = P\,[x]_B$：$P$把$B$下的座標換成標準座標，反向換算則需要$P^{-1}$。

B座標圖是將整個平面用$P^{-1}$變換後的樣子。它將$b_1$、$b_2$分別送到$(1, 0)$、$(0, 1)$，因此$B$的網格在這裡是方的，標準網格反而可能變斜。標準基底向量$\hat\imath$、$\hat\jmath$落在$P^{-1}$的兩個直行上。圖以B座標繪製；只有$b_1$、$b_2$是互相垂直的單位向量時，所有長度與角度才保持不變。

一個直覺的捷徑是從$x$向$b_1$、$b_2$所在直線作垂線，再讀取垂足的位置。垂足讀數顯示的就是這種讀法。$b_1 \perp b_2$時，它給出正確座標；若基底向量是互相垂直的單位向量，每個讀數就是內積$x\cdot b_i$。在斜基底下，除了$x$為0以外，這種讀法都不正確。

共線的兩個向量不是一組基底。此時$\det P = 0$，網格塌縮到直線上；若兩個向量都為零，便縮成O。$x$在塌縮後的網格內時，有無窮多種讀法：$b_2 = 2b_1 = (2, 2)$且$x = (3, 3)$時，凡是滿足$c_1 + 2c_2 = 3$的$(c_1, c_2)$都可以。若$x$在網格外，則沒有任何讀法。