此視覺化中的特徵向量
2 × 2矩陣是平面上的線性變換，可能把向量轉離自身所在直線。特徵向量則不會離開這條直線：Av = λv，其中特徵值λ表示v伸長、縮短或反向的程度。特徵向量的任何非零倍數也都是同一λ的特徵向量，因此關鍵在於那條直線。
圖中同時追蹤所有方向。虛線圓是單位圓，橢圓是它經A變換後的像；圓上每根短指針，都指向A將該點映往的方向。使用預設矩陣，轉動紅色探測向量v，觀察黃色箭頭Av：它先偏向v所在直線的一側，再偏向另一側。只有在藍色直線上，Av才與v共線。這些就是特徵直線，每條都標著對應的λ。
特徵值為何是det(A − λI)的根？將Av = λv改寫成(A − λI)v = 0。非零的v能滿足此式，必須是A − λI把平面壓扁，將整條直線映到原點；這恰好發生在行列式為0時。A − λI視窗把p(λ) = det(A − λI)畫成曲線。把λ拖到一個根上，單位正方形的像便塌成一條直線；若A = λI，則塌到原點。被映到原點的非零向量，就是這個λ的特徵向量。
兩個線性獨立的特徵向量e₁與e₂構成一組基底。在這組基底下，A只沿e₁乘上λ₁、沿e₂乘上λ₂，所以矩陣是對角矩陣。特徵基底顯示這組基底的一個網格單元及其變換後的像；角點標籤以e₁、e₂計數，而不是x、y。並非每個矩陣都有這樣的基底。p(λ)是二次多項式，可能沒有實根，例如轉90°會轉動每個方向；也可能有重根，例如剪切只保留一條直線。
反覆作用讓v不斷乘上A，並標出v、Av、A²v等向量的方向。當特徵值為實數且絕對值不同，每一步都會把v的兩個特徵分量各自乘上對應的特徵值，因此絕對值較大的特徵值所對應的分量逐漸占優勢。除非v一開始就在另一條特徵直線上，否則方向會趨近前者所在的直線。冪次法就是這樣求特徵向量。交換的特徵值為1與−1；若向量不在兩條特徵直線上，就會永遠在兩個方向間交替。
值得注意
- 讀數中的投影v·Av，本身不足以判定v是不是特徵向量。只有在特徵直線上，Av才是v的倍數；也只有這時，頁面才會寫出Av = λv。
- 運行時各點落在圓上，是因為圖中只呈現方向。向量本身可以變長或縮短，狀態列會顯示每一步的長度倍率。
- 當λ是根且A ≠ λI時，黃色虛線是A − λI將平面映往的直線。λ本身的特徵直線，也就是被映到原點的那條，是較粗的藍線。若為重根，兩條線可能重合。
操作
- v與矩陣直行向量的端點重疊時，按下會先選中v。單擊一次但不拖曳，下次按下就會選中另一個。
- 在A − λI視窗中，按下軸上的任一處即可把λ移到該處。λ會在根與整數處吸附。