行列式

2×2矩陣A = (a b; c d)是平面上的線性變換。它將î與ĵ送到自身的兩個直行a₁ = (a, c)與a₂ = (b, d)，所以單位正方形變成以a₁與a₂為邊的平行四邊形。A的行列式就是這個平行四邊形的有向面積。

圖中呈現A作用前後的平面：標準網格是淡色虛線，A變換後的網格是墨色線條，單位正方形的像則是黃色平行四邊形。原點附近的黃色小弧，沿較短方向從a₁轉到a₂。旗子是隨之變換的圖形，虛線表示原來的位置，實線表示A送達的位置。

行列式說的不只是單位正方形。每個網格小方格都變成相同平行四邊形的副本，因此由方格拼成的區域，面積都乘以|det A|。加密網格也是如此。圓盤等圖形可用越來越小的方格填得越來越接近，所以面積也乘以|det A|。選擇「圓」時，面積為π的單位圓盤變成面積為|det A|·π的橢圓；det A = 0時則壓成線段或一點。

正負號表示平面是否翻面。若從a₁到a₂的較短轉向為逆時針，如同從î到ĵ，A就保持平面的定向，det A > 0。若為順時針，A就反轉平面的定向：旗子反向，黃色填色改為斜線紋，det A < 0。行列式隨矩陣元素連續變化，不能從正值突然跳到負值。將a₂拖過a₁所在的直線，平行四邊形會先壓成線段，此時det A = 0，然後才翻面。

det A = 0時，兩個直行落在同一條直線上，A把整個平面壓到這條線上；若A是零矩陣，則壓成原點O。不同的點因此落在同一處，無法還原，所以A沒有反矩陣。

為什麼是ad − bc？開啟「剪切作圖」推一推。剪切讓平行四邊形的一邊沿另一邊所在的直線滑動。底與高都不變，因此面積也不變。det A ≠ 0且|a|不小於|c|時，先沿a₁推動a₂，直到它直立於(0, h)，其中h = d − bc/a。再沿這條直立的邊推動a₁，直到它落在x軸的(a, 0)。得到的長方形邊長為|a|與|h|，有向面積為a·h = ad − bc。|c|大於|a|時，頁面改從另一方向作出長方形，有向面積相同。det A = 0時，平行四邊形已壓扁，無法形成長方形。

將一個直行的倍數加到另一個直行，正是這樣的剪切，因此行列式不變。