Determinan

Matriks 2 × 2, A = (a b; c d), adalah transformasi linear pada bidang. Matriks ini memetakan î dan ĵ ke kolomnya, a₁ = (a, c) dan a₂ = (b, d), sehingga persegi satuan menjadi jajargenjang bersisi a₁ dan a₂. Determinan A adalah luas bertanda jajargenjang tersebut.

Gambar menunjukkan bidang sebelum dan sesudah A: kisi standar berupa garis putus-putus samar, kisi hasil transformasi A berupa garis gelap, dan bayangan persegi satuan berupa jajargenjang kuning. Busur kuning kecil dekat titik asal berputar dari a₁ ke a₂ lewat arah yang lebih pendek. Bendera ikut ditransformasikan; posisi awalnya bergaris putus-putus, sedangkan posisi hasil A bergaris utuh.

Determinan tidak hanya berlaku untuk persegi satuan. Setiap persegi pada kisi menjadi salinan jajargenjang yang sama, sehingga luas daerah yang tersusun dari persegi-persegi kisi dikalikan dengan |det A|. Kisi yang lebih rapat bekerja dengan cara yang sama. Bentuk seperti cakram dapat diisi semakin mendekati bentuk aslinya dengan persegi-persegi kecil, sehingga luasnya juga dikalikan dengan |det A|. Jika Lingkaran dipilih, cakram satuan berluas π menjadi elips berluas |det A|·π, atau ruas garis atau titik jika det A = 0.

Tanda menunjukkan apakah orientasi bidang terbalik. Jika putaran terpendek dari a₁ ke a₂ berlawanan arah jarum jam, seperti dari î ke ĵ, A mempertahankan orientasi dan det A > 0. Jika searah jarum jam, A membalik orientasi: bendera menghadap ke arah lain, isian kuning berubah menjadi arsiran, dan det A < 0. Determinan berubah secara kontinu terhadap entri matriks, sehingga tidak dapat melompat dari positif ke negatif. Seret a₂ melintasi garis melalui a₁: jajargenjang mula-mula menjadi ruas garis dengan det A = 0, baru kemudian terbalik.

Jika det A = 0, kedua kolom terletak pada satu garis dan A meratakan seluruh bidang ke garis itu, atau ke satu titik O jika A adalah matriks nol. Titik-titik berbeda kemudian berada di tempat yang sama dan tidak dapat dipisahkan kembali; karena itu A tidak memiliki invers.

Mengapa ad − bc? Aktifkan Konstruksi geseran lalu dorong. Geseran menggeser satu sisi jajargenjang sepanjang garis sisi lainnya. Alas dan tinggi tetap, sehingga luasnya juga tetap. Jika det A ≠ 0 dan |a| setidaknya sebesar |c|, a₂ mula-mula didorong sepanjang a₁ hingga tegak di (0, h), dengan h = d − bc/a. Lalu a₁ didorong sepanjang sisi tegak itu hingga berada di sumbu x pada (a, 0). Hasilnya persegi panjang bersisi |a| dan |h|, dengan luas bertanda a·h = ad − bc. Jika |c| lebih besar daripada |a|, halaman ini membentuk persegi panjang dari arah lainnya, dengan luas bertanda yang sama. Jika det A = 0, jajargenjang sudah datar dan tidak dapat dibentuk menjadi persegi panjang.

Menambahkan kelipatan satu kolom ke kolom lainnya tepat merupakan geseran seperti ini, sehingga tidak mengubah determinan.