Il determinante in questa visualizzazione
Una matrice 2 × 2 A = (a b; c d) è un’applicazione lineare del piano. Manda î e ĵ nelle proprie colonne a₁ = (a, c) e a₂ = (b, d), quindi il quadrato unitario diventa il parallelogramma di lati a₁ e a₂. Il determinante di A è l’area con segno di quel parallelogramma.
La figura mostra il piano prima e dopo A: la griglia standard con linee tenui tratteggiate, la griglia prodotta da A in tratto scuro e l’immagine del quadrato unitario come un parallelogramma giallo. Il piccolo arco giallo vicino all’origine va da a₁ ad a₂ lungo il percorso più breve. La bandiera accompagna la trasformazione: tratteggiata dov’era prima e a tratto continuo dove la porta A.
Il determinante non riguarda soltanto il quadrato unitario. Ogni quadrato della griglia diventa una copia dello stesso parallelogramma, quindi una regione formata da quadrati della griglia vede la propria area moltiplicata per |det A|. Una griglia più fitta funziona allo stesso modo. I suoi piccoli quadrati permettono di approssimare sempre meglio forme come un disco, quindi anche le loro aree sono moltiplicate per |det A|. Selezionando Cerchio, il disco unitario di area π diventa un’ellisse di area |det A|·π, oppure un segmento o un punto quando det A = 0.
Il segno indica se l’orientamento del piano è invertito. Se la rotazione più breve da a₁ ad a₂ è antioraria, come da î a ĵ, A conserva l’orientamento del piano e det A > 0. Se è oraria, A inverte l’orientamento del piano: la bandiera è rivolta dall’altra parte, il riempimento giallo diventa un tratteggio e det A < 0. Il determinante varia con continuità al variare degli elementi della matrice, quindi non può saltare da positivo a negativo. Trascina a₂ oltre la retta di a₁: il parallelogramma prima si schiaccia in un segmento, dove det A = 0, e solo dopo inverte l’orientamento.
Quando det A = 0, le colonne giacciono su una stessa retta e A schiaccia l’intero piano su di essa, oppure sul solo punto O se A è la matrice nulla. Punti diversi finiscono allora nello stesso posto: non c’è modo di tornare indietro, quindi A non ha inversa.
Perché ad − bc? Attiva Costruzione per scorrimento e trascina. Uno scorrimento fa scivolare un lato del parallelogramma lungo la retta dell’altro. La base e l’altezza restano invariate, quindi anche l’area. Quando det A ≠ 0 e |a| è maggiore o uguale a |c|, si fa prima scorrere a₂ nella direzione di a₁ fino a renderlo verticale in (0, h), con h = d − bc/a. Poi si fa scorrere a₁ nella direzione di quel lato verticale fino all’asse x, in (a, 0). Il risultato è un rettangolo di lati |a| e |h|, la cui area con segno è a·h = ad − bc. Quando |c| è maggiore di |a|, la pagina costruisce il rettangolo nell’altro verso, con la stessa area con segno. Se det A = 0, il parallelogramma è schiacciato e non si può costruire alcun rettangolo.
Sommare a una colonna un multiplo dell’altra è proprio uno scorrimento di questo tipo, quindi non cambia mai il determinante.
Da osservare
- Con Costruzione per scorrimento attiva, A non cambia. La copia che si sposta è gialla, mentre il parallelogramma di A rimane visibile come un contorno tenue tratteggiato.
- Quando det A = 0 ma A non è nulla, la retta continua è quella su cui finisce l’intero piano, mentre quella tratteggiata è l’insieme dei punti che finiscono in O. Possono essere la stessa retta, come per A = (1 −1; 1 −1).