Moltiplicazione di matrici

Una matrice 2 × 2 è un’applicazione lineare del piano e le sue colonne sono le immagini di $\hat\imath = (1, 0)$ e $\hat\jmath = (0, 1)$. Il prodotto $AB$ è la matrice di due trasformazioni eseguite in successione, prima $B$ e poi $A$: $(AB)x = A(Bx)$ per ogni vettore $x$. La matrice accanto a $x$ agisce per prima, quindi il prodotto si legge da destra a sinistra.

Nell’ordine $AB$, la figura a sinistra mostra $B$ sulla griglia standard: $\hat\imath$ e $\hat\jmath$ sono frecce tenui tratteggiate, mentre le loro immagini $b_1$ e $b_2$, le colonne di $B$, sono blu. La figura a destra mostra $A$: la griglia che produce a partire da quella standard, le proprie colonne $a_1$ e $a_2$ in tratto scuro e le colonne del prodotto, $Ab_1$ e $Ab_2$, in blu. La bandiera mostra gli stessi due passaggi su una forma. Ogni figura ha la propria scala, perché un prodotto può estendersi molto più dei suoi fattori.

Da dove viene una colonna di $AB$? $B$ manda $\hat\imath$ in $b_1 = (b_{11}, b_{21})$, cioè $b_{11}$ volte $\hat\imath$ e $b_{21}$ volte $\hat\jmath$. Poiché $A$ è lineare, manda quel punto nella stessa combinazione delle proprie colonne: $b_{11}$ volte $a_1$, seguito da $b_{21}$ volte $a_2$. Legge solo i due numeri di $b_1$, senza tener conto di come è stato ottenuto $b_1$. A destra, la colonna selezionata del prodotto è disegnata seguendo questa ricetta: due tratti sottili nelle direzioni di $a_1$ e $a_2$ che terminano sulla freccia blu. Trascina $b_1$ a sinistra: i tratti si allungano e si accorciano al variare delle sue componenti.

La regola insegnata come riga per colonna è questa ricetta scritta in coordinate. La coordinata x di $Ab_j$ è la somma delle componenti orizzontali dei due tratti, $a_{11}b_{1j} + a_{12}b_{2j}$: la riga 1 di $A$ per la colonna $j$ di $B$. La coordinata y si ottiene allo stesso modo dalla riga 2. Riga × colonna disegna queste componenti lungo gli assi, ciascuna con il proprio prodotto.

L’ordine conta perché la seconda trasformazione agisce sul risultato della prima. Ruota di un quarto di giro e poi applica uno scorrimento: $\hat\imath$ va in $(0, 1)$ e poi in $(1, 1)$. Applica prima lo scorrimento e poi ruota: $\hat\imath$ resta in $(1, 0)$ e poi va in $(0, 1)$. Dopo aver composto anche nell’altro ordine, il relativo risultato appare a destra come frecce blu tratteggiate, finché A o B non cambia. Alcune coppie commutano. Due rotazioni del piano attorno all’origine sommano i propri angoli in entrambi gli ordini.

I fattori di area si moltiplicano. $B$ trasforma il quadrato unitario in un parallelogramma di area $|\det B|$, poi $A$ moltiplica ogni area per $|\det A|$. Tenendo conto dei segni, $\det(AB) = \det A\cdot\det B$; e poiché i numeri commutano, $\det(AB) = \det(BA)$ anche quando $AB \ne BA$. Nell’impostazione iniziale, $\det A = 2$ e $\det B = 3$, quindi entrambi i prodotti hanno determinante 6.