Matris çarpımı

2 × 2 matris, düzlemin bir doğrusal dönüşümüdür; sütunları, $\hat\imath = (1, 0)$ ve $\hat\jmath = (0, 1)$ vektörlerini götürdüğü yerlerdir. $AB$ çarpımı, önce $B$, sonra $A$ olmak üzere art arda iki dönüşümün matrisidir: her $x$ vektörü için $(AB)x = A(Bx)$. $x$ vektörünün hemen yanındaki matris önce uygulanır; bu yüzden çarpım sağdan sola okunur.

$AB$ sırasında soldaki şekil $B$ dönüşümünü standart ızgara üzerinde gösterir: $\hat\imath$ ve $\hat\jmath$ soluk kesikli oklar, görüntüleri $b_1$ ve $b_2$, yani $B$ matrisinin sütunları ise mavidir. Sağdaki şekil $A$ dönüşümünü gösterir: standart ızgaradan ürettiği ızgara, koyu renkli $a_1$ ve $a_2$ sütunları ve mavi $Ab_1$ ile $Ab_2$ çarpım sütunları. Bayrak, aynı iki adımı bir şekil üzerinde gösterir. Çarpımın eriştiği uzaklık çarpanlarınkini çok aşabildiğinden her şeklin ölçeği ayrıdır.

$AB$ matrisinin bir sütunu nasıl oluşur? $B$, $\hat\imath$ vektörünü $b_1 = (b_{11}, b_{21})$ noktasına götürür: $\hat\imath$ yönünde $b_{11}$ adım, $\hat\jmath$ yönünde $b_{21}$ adım. $A$ doğrusal olduğu için bu noktayı kendi sütunlarının aynı katsayılarla birleşimine götürür: önce $b_{11}$ kat $a_1$, ardından $b_{21}$ kat $a_2$. Yalnızca $b_1$ sütununun iki sayısını okur; $b_1$ sütununun nasıl oluştuğunu değil. Sağda seçilen çarpım sütunu, $a_1$ ve $a_2$ boyunca ilerleyip mavi okun ucunda biten iki ince vektör parçasıyla gösterilir. Solda $b_1$ sütununu sürükleyin; parçalar sayılarıyla birlikte uzayıp kısalır.

Satır çarpı sütun kuralı, bu birleşimin koordinatlarla yazımıdır. $Ab_j$ vektörünün x koordinatı, iki parçanın yatay bileşenlerini toplar: $a_{11}b_{1j} + a_{12}b_{2j}$. Bu, $A$ matrisinin 1. satırı ile $B$ matrisinin $j$. sütununun çarpımıdır. y koordinatı aynı şekilde 2. satırdan gelir. Satır × sütun, bu bileşenleri eksenler üzerinde çizer ve her birini karşılık gelen çarpımla etiketler.

Sıra önemlidir, çünkü ikinci dönüşüm birincinin sonucuna uygulanır. Önce çeyrek tur döndürüp sonra kaydırınca $\hat\imath$, $(0, 1)$ noktasına, ardından $(1, 1)$ noktasına gider. Önce kaydırıp sonra döndürünce $\hat\imath$, önce $(1, 0)$ noktasında kalır, sonra $(0, 1)$ noktasına gider. Diğer sıra da bileştirildiğinde sonucu sağda kesikli mavi oklarla gösterilir; A veya B değişene kadar kalır. Bazı dönüşümler yer değiştirebilir: Düzlemi orijin çevresinde iki kez döndürmek, her iki sırada da açıları toplar.

Alan çarpanları çarpılır. $B$, birim kareyi alanı $|\det B|$ olan bir paralelkenara dönüştürür; sonra $A$ her alanı $|\det A|$ ile çarpar. İşaretleriyle birlikte $\det(AB) = \det A\cdot\det B$ olur. Sayılarda çarpmanın değişme özelliği sayesinde $AB \ne BA$ olsa bile $\det(AB) = \det(BA)$ geçerlidir. Başlangıç ayarında $\det A = 2$ ve $\det B = 3$ olduğundan her iki çarpımın determinantı 6'dır.