행렬의 곱셈

2 × 2 행렬은 평면의 선형사상이며, 각 열은 $\hat\imath = (1, 0)$와 $\hat\jmath = (0, 1)$의 도착점입니다. 곱 $AB$는 먼저 $B$, 그다음 $A$ 순으로 두 사상을 연이어 적용하는 행렬입니다. 모든 벡터 $x$에 대해 $(AB)x = A(Bx)$입니다. $x$ 바로 옆의 행렬이 먼저 작용하므로 곱은 오른쪽에서 왼쪽으로 읽습니다.

$AB$ 순서에서 왼쪽 그림은 표준 격자 위의 $B$를 보여 줍니다. $\hat\imath$와 $\hat\jmath$는 옅은 점선 화살표이고, 그 도착점인 $b_1$와 $b_2$, 즉 $B$의 열은 파란색입니다. 오른쪽 그림은 $A$를 보여 줍니다. 표준 격자가 변환된 모습과 열 $a_1$, $a_2$는 짙은 색이고, 곱의 열 $Ab_1$, $Ab_2$은 파란색입니다. 깃발은 같은 두 단계를 도형으로 보여 줍니다. 곱의 결과가 각 행렬보다 훨씬 멀리 뻗을 수 있어 각 그림의 축척은 독립적으로 정해집니다.

$AB$의 열은 어떻게 만들어질까요? $B$는 $\hat\imath$를 $b_1 = (b_{11}, b_{21})$로 보냅니다. 이 점은 $\hat\imath$ 방향으로 $b_{11}$만큼, $\hat\jmath$ 방향으로 $b_{21}$만큼 이동한 곳입니다. $A$는 선형이므로 그 점을 자기 열을 같은 계수로 조합한 곳으로 보냅니다. 즉 $a_1$의 $b_{11}$배만큼, 이어서 $a_2$의 $b_{21}$배만큼 이동합니다. 사용하는 것은 $b_1$의 두 수뿐이며, $b_1$가 어떻게 만들어졌는지는 관계없습니다. 오른쪽에서는 선택한 곱의 열을 이 조합으로 그립니다. $a_1$과 $a_2$를 따라가는 두 가는 이동 구간이 파란 화살표의 끝에 닿습니다. 왼쪽의 $b_1$을 드래그하면 그 수에 따라 이동 구간이 늘어나거나 줄어듭니다.

행과 열을 곱하는 계산 규칙은 이 조합을 좌표로 쓴 것입니다. $Ab_j$의 x좌표는 두 이동 구간의 수평 성분을 더한 $a_{11}b_{1j} + a_{12}b_{2j}$입니다. 이는 $A$의 첫째 행과 $B$의 $j$번째 열을 곱한 것입니다. y좌표도 같은 방식으로 둘째 행에서 구합니다. 행 × 열을 켜면 이 성분들이 좌표축에 표시되고 각각의 곱이 붙습니다.

두 번째 변환이 첫 번째 변환의 결과에 작용하므로 순서가 중요합니다. 90° 회전한 뒤 전단하면 $\hat\imath$는 $(0, 1)$로, 이어서 $(1, 1)$로 이동합니다. 전단한 뒤 회전하면 $\hat\imath$는 $(1, 0)$에 머물렀다가 $(0, 1)$로 이동합니다. 반대 순서로도 합성하면 그 결과가 오른쪽에 파란 점선 화살표로 나타나고, A나 B를 바꿀 때까지 남습니다. 순서를 바꾸어도 결과가 같은 쌍도 있습니다. 원점을 중심으로 하는 평면의 두 회전은 어느 순서로 적용하든 각도를 더하면 됩니다.

넓이 배율은 서로 곱해집니다. $B$는 단위 정사각형을 넓이가 $|\det B|$인 평행사변형으로 바꾸고, 이어서 $A$는 모든 넓이를 $|\det A|$배로 만듭니다. 부호까지 포함하면 $\det(AB) = \det A\cdot\det B$입니다. 수의 곱셈은 순서를 바꿀 수 있으므로 $AB \ne BA$일 때도 $\det(AB) = \det(BA)$입니다. 기본 설정에서는 $\det A = 2$이고 $\det B = 3$이므로 두 곱의 행렬식은 모두 6입니다.