ضرب المصفوفات: تصور تفاعلي

ضرب المصفوفات في هذا التصور

المصفوفة ⁦2 × 2⁩ هي تحويل خطي للمستوى، وعموداها هما صورتا ⁦ $\hat\imath = (1, 0)$ ⁩ و⁦ $\hat\jmath = (0, 1)$ ⁩. حاصل الضرب ⁦ $AB$ ⁩ هو مصفوفة تطبيق تحويلين متتاليين، ⁦ $B$ ⁩ أولًا ثم ⁦ $A$ ⁩: أي ⁦ $(AB)x = A(Bx)$ ⁩ لكل متجه ⁦ $x$ ⁩. المصفوفة المجاورة لـ⁦ $x$ ⁩ تُطبّق أولًا، لذا يُقرأ حاصل الضرب من اليمين إلى اليسار.

الترتيب الافتراضي للصفحة: ⁦B⁩ أولًا، ثم ⁦A⁩

AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

في الترتيب ⁦ $AB$ ⁩، يُظهر الرسم الأيسر ⁦ $B$ ⁩ على الشبكة القياسية: المتجهان ⁦ $\hat\imath$ ⁩ و⁦ $\hat\jmath$ ⁩ سهمان متقطعان باهتان، وصورتاهما ⁦ $b_1$ ⁩ و⁦ $b_2$ ⁩، وهما عمودا ⁦ $B$ ⁩، باللون الأزرق. ويُظهر الرسم الأيمن ⁦ $A$ ⁩: الشبكة الناتجة عن تحويل الشبكة القياسية، والعمودين ⁦ $a_1$ ⁩ و⁦ $a_2$ ⁩ بلون الحبر، وعمودي حاصل الضرب ⁦ $Ab_1$ ⁩ و⁦ $Ab_2$ ⁩ بالأزرق. تُظهر الراية الخطوتين نفسيهما على شكل. ولكل رسم مقياسه الخاص، لأن حاصل الضرب قد يمتد بعيدًا عن نطاق عامليه.

من أين يأتي عمود ⁦ $AB$ ⁩؟ ينقل ⁦ $B$ ⁩ المتجه ⁦ $\hat\imath$ ⁩ إلى ⁦ $b_1 = (b_{11}, b_{21})$ ⁩، أي ⁦ $b_{11}$ ⁩ خطوة في اتجاه ⁦ $\hat\imath$ ⁩ و⁦ $b_{21}$ ⁩ خطوة في اتجاه ⁦ $\hat\jmath$ ⁩. ولأن ⁦ $A$ ⁩ خطي، فإنه ينقل تلك النقطة بالخطوات نفسها في اتجاه عموديه: ⁦ $b_{11}$ ⁩ من ⁦ $a_1$ ⁩ تليها ⁦ $b_{21}$ ⁩ من ⁦ $a_2$ ⁩. لا يحتاج إلا إلى عددي ⁦ $b_1$ ⁩، لا إلى كيفية تكوين ⁦ $b_1$ ⁩. على اليمين يُرسم عمود حاصل الضرب المحدد بهذه الطريقة: قطعتان رفيعتان في اتجاهي ⁦ $a_1$ ⁩ و⁦ $a_2$ ⁩ تنتهيان عند رأس السهم الأزرق. اسحب ⁦ $b_1$ ⁩ على اليسار، فتطول القطعتان وتقصران مع تغيّر عدديه.

كل عمود من ⁦AB⁩ هو نتيجة تطبيق ⁦A⁩ على العمود المقابل من ⁦B⁩

\begin{gathered} (AB)_j = A\,b_j = b_{1j}\,a_1 + b_{2j}\,a_2 \\[0.6ex] Ab_1 = 2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{gathered}

قاعدة ضرب الصف في العمود هي كتابة هذه الطريقة بالإحداثيات. إحداثي ⁦x⁩ للمتجه ⁦ $Ab_j$ ⁩ يجمع المركبتين الأفقيتين لخطوتيه، ⁦ $a_{11}b_{1j} + a_{12}b_{2j}$ ⁩: الصف الأول من ⁦ $A$ ⁩ مع العمود ⁦ $j$ ⁩ من ⁦ $B$ ⁩. ويأتي إحداثي ⁦y⁩ من الصف الثاني بالطريقة نفسها. يعرض خيار صف × عمود هذه المركبات على المحورين، ويكتب حاصل الضرب بجوار كل منها.

صف × عمود: القاعدة العامة والعمود الأول في المثال الافتراضي

\begin{gathered} (AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} \\[0.6ex] (AB)_1 = (1\cdot 2 + 1\cdot 1,\ 0\cdot 2 + 2\cdot 1) = (3,\ 2) \end{gathered}

الترتيب مهم لأن التحويل الثاني يعمل على ما أنتجه الأول. ربع دورة ثم قصّ: ينتقل ⁦ $\hat\imath$ ⁩ إلى ⁦ $(0, 1)$ ⁩ ثم إلى ⁦ $(1, 1)$ ⁩. قصّ أولًا ثم دوران: يبقى ⁦ $\hat\imath$ ⁩ عند ⁦ $(1, 0)$ ⁩ ثم ينتقل إلى ⁦ $(0, 1)$ ⁩. بعد تركيب التحويلين بالترتيب الآخر أيضًا، تظهر نتيجته على اليمين كأسهم زرقاء متقطعة، إلى أن تتغيّر ⁦A⁩ أو ⁦B⁩. بعض الأزواج تتبادل الترتيب فعلًا: دورانان للمستوى حول الأصل يجمعان زاويتيهما في أي ترتيب.

تُضرب عوامل المساحة بعضها في بعض. يحوّل ⁦ $B$ ⁩ مربع الوحدة إلى متوازي أضلاع مساحته ⁦ $|\det B|$ ⁩، ثم يضرب ⁦ $A$ ⁩ كل مساحة في ⁦ $|\det A|$ ⁩. مع مراعاة الإشارات، ⁦ $\det(AB) = \det A\cdot\det B$ ⁩. ولأن ضرب الأعداد تبادلي، فإن ⁦ $\det(AB) = \det(BA)$ ⁩ حتى عندما ⁦ $AB \ne BA$ ⁩. في المثال الافتراضي، ⁦ $\det A = 2$ ⁩ و⁦ $\det B = 3$ ⁩، لذا محدّد كلا حاصلي الضرب يساوي 6.

تُضرب عوامل المساحة مع إشاراتها بعضها في بعض، في كلا الترتيبين

\det(AB) = \det A \cdot \det B = \det(BA)

ما يجدر ملاحظته

في الترتيب ⁦ $AB$ ⁩، يحرّك زر ركّب التحويلين المتجه ⁦ $\hat\imath$ ⁩ إلى ⁦ $b_1$ ⁩ على خط مستقيم. لا يوضح المسار إلا الموضع النهائي لـ⁦ $\hat\imath$ ⁩، وليس كيفية تحريك ⁦ $B$ ⁩ للمستوى.
عامل المساحة السالب لا يعني مساحة سالبة. بل يعني أن التحويل يعكس اتجاه المستوى، وأن المساحات تُضرب في القيمة المطلقة لذلك العامل.

التحكم

في الترتيب ⁦ $AB$ ⁩، يؤدي وضع المؤشر عند ⁦ $p$ ⁩ على اليسار إلى تمييز ⁦ $Ap$ ⁩ على اليمين بحلقة سماوية صغيرة.

مفاهيم ذات صلة

التركيب الخطيمخطط له
الأساسمخطط له
التحويل الخطي
المحدّدمخطط له
المتجه الذاتيمخطط له
التحويل الجامد

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Matrix multiplication (الإنجليزية); OpenStax, College Algebra 2e, 7.5 Matrices and Matrix Operations (الإنجليزية).