Multiplicação de matrizes

Uma matriz 2 × 2 é uma aplicação linear do plano, e as suas colunas são as imagens de $\hat\imath = (1, 0)$ e $\hat\jmath = (0, 1)$. O produto $AB$ é a matriz de duas transformações feitas sucessivamente, primeiro $B$ e depois $A$: $(AB)x = A(Bx)$ para qualquer vetor $x$. A matriz junto de $x$ atua primeiro, pelo que o produto se lê da direita para a esquerda.

Na ordem $AB$, a figura da esquerda mostra $B$ na grelha padrão: $\hat\imath$ e $\hat\jmath$ são setas ténues a tracejado, e as suas imagens $b_1$ e $b_2$, as colunas de $B$, estão a azul. A figura da direita mostra $A$: a grelha que produz a partir da grelha padrão, as suas colunas $a_1$ e $a_2$ a traço escuro, e as colunas do produto, $Ab_1$ e $Ab_2$, a azul. A bandeira mostra os mesmos dois passos numa forma. Cada figura tem a sua própria escala, porque um produto pode estender-se muito para além dos seus fatores.

De onde vem uma coluna de $AB$? $B$ leva $\hat\imath$ a $b_1 = (b_{11}, b_{21})$, que corresponde a $b_{11}$ vezes $\hat\imath$ e $b_{21}$ vezes $\hat\jmath$. Como $A$ é linear, leva esse ponto à mesma combinação das suas próprias colunas: $b_{11}$ vezes $a_1$, seguido de $b_{21}$ vezes $a_2$. Apenas lê os dois números de $b_1$, sem importar como se obteve $b_1$. À direita, a coluna selecionada do produto é desenhada segundo esta receita: dois segmentos finos nas direções de $a_1$ e $a_2$ que terminam na seta azul. Arraste $b_1$ à esquerda: os segmentos alongam-se e encurtam com as suas componentes.

A regra ensinada como linha vezes coluna é esta receita escrita em coordenadas. A coordenada x de $Ab_j$ é a soma das componentes horizontais dos dois segmentos, $a_{11}b_{1j} + a_{12}b_{2j}$: a linha 1 de $A$ vezes a coluna $j$ de $B$. A coordenada y obtém-se da mesma forma a partir da linha 2. Linha × coluna desenha estas componentes nos eixos, cada uma identificada com o seu produto.

A ordem importa porque a segunda transformação atua sobre o resultado da primeira. Rode um quarto de volta e depois aplique um cisalhamento: $\hat\imath$ passa a $(0, 1)$ e depois a $(1, 1)$. Aplique primeiro o cisalhamento e depois rode: $\hat\imath$ permanece em $(1, 0)$ e depois passa a $(0, 1)$. Depois de compor também na outra ordem, o respetivo resultado aparece à direita como setas azuis a tracejado, até que A ou B mude. Alguns pares comutam. Duas rotações do plano em torno da origem somam os seus ângulos em qualquer das ordens.

Os fatores de área multiplicam-se. $B$ transforma o quadrado unitário num paralelogramo de área $|\det B|$, e depois $A$ multiplica todas as áreas por $|\det A|$. Considerando os sinais, $\det(AB) = \det A\cdot\det B$; e como os números comutam, $\det(AB) = \det(BA)$ mesmo quando $AB \ne BA$. Na configuração inicial, $\det A = 2$ e $\det B = 3$, pelo que ambos os produtos têm determinante 6.