Vetor próprio

Uma matriz 2 × 2 é uma transformação linear do plano e pode desviar um vetor da sua própria reta. Um vetor próprio é um vetor que não é desviado dessa reta: Av = λv, em que o valor próprio λ indica quanto v é esticado, encurtado ou invertido de sentido. Qualquer múltiplo não nulo de um vetor próprio é outro vetor próprio com o mesmo λ, pelo que o que importa é a reta.

A imagem acompanha todas as direções ao mesmo tempo. A circunferência tracejada é a circunferência unitária, a elipse é a sua imagem por A e cada pequena agulha na circunferência aponta para onde A envia esse ponto. Com a matriz inicial, rode o vetor de teste vermelho v e observe a seta amarela Av: inclina-se para um lado da reta de v e depois para o outro. Só nas retas azuis é que Av fica na direção de v. São as retas próprias, cada uma identificada pelo seu λ.

Por que são os valores próprios as raízes de det(A − λI)? Reescreva Av = λv como (A − λI)v = 0. Um v não nulo só pode satisfazer esta igualdade se A − λI achatar o plano e enviar uma reta inteira para a origem, o que acontece exatamente quando o seu determinante é 0. A janela A − λI desenha a curva p(λ) = det(A − λI). Arraste λ até uma raiz e a imagem do quadrado unitário reduz-se a uma reta, ou à origem se A = λI. Os vetores não nulos enviados para a origem são os vetores próprios desse λ.

Dois vetores próprios independentes e₁ e e₂ formam uma base em que A apenas multiplica por λ₁ na direção de e₁ e por λ₂ na direção de e₂, pelo que a sua matriz nestas coordenadas é diagonal. A opção Base de vetores próprios desenha uma célula desta base e a sua imagem, com as etiquetas dos vértices expressas em e₁ e e₂, não em x e y. Nem todas as matrizes têm uma base destas. p(λ) é um polinómio de segundo grau e pode não ter raízes reais, como em Rodar 90°, que roda todas as direções. Também pode ter uma raiz dupla, como em Cisalhar, que conserva apenas uma reta.

A opção Aplicar repetidamente multiplica v por A sucessivamente e marca as direções de v, Av, A²v e assim por diante. Quando os valores próprios são reais e têm valores absolutos diferentes, cada passo multiplica por eles as duas componentes próprias de v, pelo que acaba por dominar a componente cujo valor próprio tem o maior valor absoluto. As direções convergem para a sua reta, a menos que v comece na outra. O método das potências encontra um vetor próprio desta forma. Em Trocar, cujos valores próprios são 1 e −1, um vetor que não esteja em nenhuma das duas retas alterna indefinidamente entre duas direções.