Retrato de fase

Um retrato de fase desenha as soluções de um sistema de equações diferenciais como curvas no plano das suas variáveis, uma por cada ponto inicial. Esta página mostra o sistema linear $x' = Ax$ para uma matriz $A$ de dimensão $2 \times 2$. Mover o ponto $(\tau, \Delta)$ no diagrama traço–determinante leva o retrato por selas, nós, focos e centros. O plano dos valores próprios ao lado mostra os dois valores próprios por trás de cada retrato.

Cada curva segue o campo de direções. As setas têm todas o mesmo comprimento e só mostram a direção; a rapidez vê-se nas marcas a intervalos de tempo iguais, que se juntam onde o movimento é lento. Algumas soluções seguem uma reta pela origem. Se $Av = \lambda v$, então $x(t) = e^{\lambda t} v$ é uma solução, porque a sua derivada $\lambda e^{\lambda t} v$ é exatamente o resultado de lhe aplicar $A$. As retas são, portanto, as direções próprias de $A$, e $\lambda$ é a taxa de crescimento em cada uma: o movimento segue para fora quando $\lambda > 0$, para dentro quando $\lambda < 0$ e fica parado quando $\lambda = 0$.

Os valores próprios resolvem $\lambda^2 - \tau\lambda + \Delta = 0$: $\tau$ é a sua soma, $\Delta$ o seu produto e $\tau^2 - 4\Delta$ o discriminante. Cada fronteira do diagrama corresponde a um acontecimento no plano dos valores próprios. Abaixo de $\Delta = 0$, os valores próprios têm sinais opostos e o retrato é uma sela; nessa linha, um deles é 0 e toda uma reta de pontos fica em repouso. Na parábola $\tau^2 = 4\Delta$, os dois valores próprios coincidem; acima dela, formam um par complexo conjugado. Com $\Delta > 0$, o sinal de $\tau$ separa decaimento de crescimento e, em $\tau = 0$, o par está no eixo imaginário. Assim, $\tau$ e $\Delta$ fixam os valores próprios e o tipo de retrato, exceto para valores próprios repetidos, quando o tipo também depende de $A$ ser ou não um múltiplo da identidade.

Para valores próprios complexos $\alpha \pm \beta i$ com $\beta > 0$, cada solução não nula dá uma volta à origem no tempo $2\pi/\beta$ e, nesse intervalo, é multiplicada pelo fator $e^{2\pi\alpha/\beta}$. Por isso, as marcas separadas por uma volta ficam na mesma semirreta a partir da origem, sempre com o mesmo fator de escala. Quando $\alpha = 0$, o fator é 1 e cada órbita não nula fecha-se numa elipse: um centro. Com $\Delta = 1$ e $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \tau \end{pmatrix}$, o sistema é o oscilador amortecido $x'' + 2\zeta x' + x = 0$, com $\zeta = -\tau/2$.

Ao atravessar a parábola, as duas retas fecham-se como uma tesoura numa só e depois desaparecem, dando lugar a uma espiral. Fora do vértice, uma matriz típica na parábola só tem essa reta, e todas as outras soluções entram ou saem da origem tangentes a ela. Em $(\tau, \Delta) = (-2, 1)$, a matriz $-I$ tem os mesmos valores próprios, mas cada direção dá uma reta. A mudança de base $A \mapsto PAP^{-1}$ altera a forma do retrato, mas mantém $\tau$, $\Delta$, os valores próprios e o tipo. Um múltiplo da identidade mantém-se inalterado.