相圖

相圖將微分方程組的解畫成變數平面上的曲線，每個起點都對應一條。本頁顯示線性系統$x' = Ax$，其中$A$為$2 \times 2$矩陣。在跡–行列式圖上移動點$(\tau, \Delta)$，相圖會經過鞍點、節點、螺旋與中心等類型；旁邊的特徵值平面則顯示各圖形背後的兩個特徵值。

每條曲線都沿著方向場移動。箭頭長度都相同，只表示方向；速度則由等時間標記呈現，運動較慢處的標記較密。有些解沿著通過原點的直線移動。若$Av = \lambda v$，則$x(t) = e^{\lambda t} v$是一個解，因為它的導數$\lambda e^{\lambda t} v$恰好等於$A$作用在它上面的結果。因此，這些直線是$A$的特徵方向，$\lambda$則是沿各方向的增長率：$\lambda > 0$時向外，$\lambda < 0$時向內，$\lambda = 0$時不動。

特徵值滿足$\lambda^2 - \tau\lambda + \Delta = 0$，所以$\tau$是兩者之和，$\Delta$是兩者之積，$\tau^2 - 4\Delta$是判別式。跡–行列式圖上的每條邊界都對應特徵值平面上的一種變化。在$\Delta = 0$下方，兩個特徵值異號，圖形為鞍點；在這條線上，其中一個特徵值為0，因此一整條直線上的點都保持靜止。在拋物線$\tau^2 = 4\Delta$上，兩個特徵值重合；上方則變成一對共軛複數。當$\Delta > 0$時，$\tau$的正負區分衰減與增長，而在$\tau = 0$上，這一對特徵值落在虛軸。因此$\tau$與$\Delta$決定了特徵值及相圖類型；但當特徵值重合時，類型還取決於$A$是否為單位矩陣的倍數。

當特徵值為複數$\alpha \pm \beta i$且$\beta > 0$時，每個非零解繞原點一圈所需的時間為$2\pi/\beta$，並在這段時間內縮放$e^{2\pi\alpha/\beta}$倍。因此，相隔一圈的標記落在從原點出發的同一條射線上，每次都以相同倍率縮放。當$\alpha = 0$時，倍率為1，每條非零軌道都閉合成橢圓，這就是中心。取$\Delta = 1$與$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \tau \end{pmatrix}$，系統就是阻尼振子$x'' + 2\zeta x' + x = 0$，其中$\zeta = -\tau/2$。

跨越拋物線時，兩條直線解像剪刀合攏般合為一條，然後消失，圖形變成螺旋。除了頂點，拋物線上的一般矩陣只有這一條直線解，其他解在進出原點時都與它相切。在$(\tau, \Delta) = (-2, 1)$處，矩陣$-I$有相同的特徵值，但每個方向都有直線解。換基底$A \mapsto PAP^{-1}$會改變圖形的形狀，卻保持$\tau$、$\Delta$、特徵值與類型。單位矩陣的倍數則維持不變。