洛特卡–沃爾泰拉方程組

這裡$x$是獵物數量，$y$是捕食者數量，兩者都以千隻為單位。數量變化以每隻個體的比率計算：獵物以$\alpha$成長，被吃掉的比率與捕食者數量成正比；捕食者以$\gamma$死亡，成長率與獵物數量成正比。相平面追蹤點$(x, y)$從所選起點出發的路徑，下方時間圖則逐年畫出兩者數量。

獵物成長率$\alpha - \beta y$在直線$y = \alpha/\beta$上為零，捕食者成長率$\delta x - \gamma$在直線$x = \gamma/\delta$上為零。這兩條虛線稱為零成長線，交於平衡點$(x^*, y^*) = (\gamma/\delta, \alpha/\beta)$，將平面分成四個區域。在$y^*$下方，獵物增加；上方則減少。在$x^*$右側，捕食者增加；左側則減少。因此路徑沿逆時針方向繞行。捕食者在停止增加時達到高峰，此時獵物已回落至$x^*$，晚於獵物本身的高峰。讀數顯示的延遲就是這段時間。

繞圈本身不保證路徑回到起點，螺旋也在繞圈。使路徑閉合的是沿每個解都保持不變的量：$$\begin{aligned} V &= \delta x - \gamma \ln x + \beta y - \alpha \ln y, \\ V' &= (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) + (\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0. \end{aligned}$$高於最小值的每條$V$等值線，都是圍繞平衡點的封閉曲線，因此路徑沿著它回到起點，週而復始。加入上限$K$後，擁擠會減緩獵物成長，$V$不再守恆；在設定上限的精選視角中，路徑不再閉合，而是螺旋收向平衡點。

不論起伏多大，每個完整週期的平均都恰好是平衡點。將捕食者方程除以$y$，得到$(\ln y)' = \delta x - \gamma$。經過一個週期，$y$回到起始值，因此左側積分為0，$x$的平均就是$\gamma/\delta = x^*$。同樣地，由獵物方程可得$y$的平均為$\alpha/\beta = y^*$。起伏變大會改變極值與週期，卻不改變平均值。

兩個族群都持續以相同的個體捕撈率$\varepsilon$被捕撈，使$\alpha$變為$\alpha - \varepsilon$，$\gamma$變為$\gamma + \varepsilon$。沒有上限時，平衡點移至$x^* = (\gamma + \varepsilon)/\delta$、$y^* = (\alpha - \varepsilon)/\beta$：平均而言獵物更多，捕食者更少。獵物的平均數量正是讓捕食者的增加與死亡恰好相抵的數量，因此捕撈使捕食者死亡加快時，這個數量就會提高。