Persamaan Lotka–Volterra

Di sini, $x$ adalah jumlah mangsa dan $y$ jumlah pemangsa, keduanya dalam ribuan. Masing-masing berubah dengan laju per individu: mangsa berkembang biak dengan laju $\alpha$ dan dimakan dengan laju yang sebanding dengan jumlah pemangsa; pemangsa mati dengan laju $\gamma$ dan bertambah dengan laju yang sebanding dengan jumlah mangsa. Bidang fase mengikuti titik $(x, y)$ dari awal yang Anda pilih, dan grafik waktu di bawah menggambar kedua jumlah itu dari tahun ke tahun.

Laju mangsa $\alpha - \beta y$ bernilai nol pada garis $y = \alpha/\beta$, sedangkan laju pemangsa $\delta x - \gamma$ bernilai nol pada garis $x = \gamma/\delta$. Kedua garis putus-putus pertumbuhan nol ini berpotongan di titik keseimbangan $(x^*, y^*) = (\gamma/\delta, \alpha/\beta)$ dan membagi bidang menjadi empat wilayah. Di bawah $y^*$, mangsa bertambah; di atasnya, mangsa berkurang. Di kanan $x^*$, pemangsa bertambah; di kirinya, pemangsa berkurang. Karena itu, lintasan bergerak berlawanan arah jarum jam. Pemangsa mencapai puncak saat berhenti bertambah, yaitu ketika mangsa telah turun kembali ke $x^*$, setelah puncak mangsa sendiri. Selisih waktu itulah keterlambatan pada pembacaan.

Berputar saja tidak menjamin lintasan kembali ke awal; spiral juga berputar. Yang membuat lintasan menutup adalah besaran yang tetap sama sepanjang setiap solusi: $$\begin{aligned} V &= \delta x - \gamma \ln x + \beta y - \alpha \ln y, \\ V' &= (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) + (\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0. \end{aligned}$$ Setiap level $V$ di atas minimumnya merupakan kurva tertutup mengelilingi titik keseimbangan. Lintasan mengikutinya kembali ke awal lalu berulang. Dengan batas $K$, kepadatan memperlambat pertumbuhan mangsa dan $V$ tidak lagi konstan. Pada contoh dengan batas, lintasan berputar mendekati titik keseimbangan alih-alih menutup.

Sebesar apa pun ayunannya, rata-rata setiap siklus penuh tepat sama dengan titik keseimbangan. Membagi persamaan pemangsa dengan $y$ menghasilkan $(\ln y)' = \delta x - \gamma$. Dalam satu siklus, $y$ kembali ke nilai awal, sehingga integralnya bernilai 0 dan rata-rata $x$ adalah $\gamma/\delta = x^*$. Persamaan mangsa memberikan rata-rata $y$, yaitu $\alpha/\beta = y^*$, dengan cara yang sama. Ayunan yang lebih besar mengubah nilai ekstrem dan periode, bukan rata-ratanya.

Menangkap kedua populasi terus-menerus dengan laju per individu yang sama, $\varepsilon$, mengubah $\alpha$ menjadi $\alpha - \varepsilon$ dan $\gamma$ menjadi $\gamma + \varepsilon$. Tanpa batas populasi, titik keseimbangan bergeser ke $x^* = (\gamma + \varepsilon)/\delta$, $y^* = (\alpha - \varepsilon)/\beta$: rata-rata mangsa lebih banyak, pemangsa lebih sedikit. Rata-rata mangsa adalah jumlah yang membuat pertambahan dan kematian pemangsa tepat seimbang. Jadi, rata-rata itu naik ketika penangkapan membuat pemangsa mati lebih cepat.