Potret fase

Potret fase menggambarkan solusi suatu sistem persamaan diferensial sebagai kurva pada bidang variabelnya, dengan satu kurva melalui setiap titik awal. Halaman ini menampilkan sistem linear $x' = Ax$ untuk matriks $A$ berukuran $2 \times 2$. Menggerakkan titik $(\tau, \Delta)$ pada peta jejak–determinan mengubah gambar antara pelana, simpul, spiral, dan pusat. Bidang nilai eigen di sebelahnya menampilkan dua nilai eigen yang mendasari setiap gambar.

Setiap kurva mengikuti medan arah. Semua panahnya sama panjang dan hanya menunjukkan arah. Kelajuan terlihat dari tanda pada selang waktu yang sama, yang merapat saat gerak melambat. Beberapa solusi bergerak sepanjang garis lurus melalui titik asal. Jika $Av = \lambda v$, maka $x(t) = e^{\lambda t} v$ adalah solusi, karena turunannya, $\lambda e^{\lambda t} v$, tepat sama dengan hasil penerapan $A$ padanya. Jadi, garis-garis lurus itu merupakan arah eigen $A$, dan $\lambda$ adalah laju pada masing-masing arah: gerak menuju luar saat $\lambda > 0$, menuju dalam saat $\lambda < 0$, dan tidak ada gerak saat $\lambda = 0$.

Nilai eigen memenuhi $\lambda^2 - \tau\lambda + \Delta = 0$, sehingga $\tau$ adalah jumlah keduanya, $\Delta$ adalah hasil kalinya, dan $\tau^2 - 4\Delta$ adalah diskriminannya. Setiap batas pada peta berhubungan dengan satu peristiwa pada bidang nilai eigen. Di bawah $\Delta = 0$, nilai eigen berlainan tanda dan gambar berupa pelana. Pada garis itu, salah satunya bernilai 0, sehingga seluruh titik pada suatu garis tetap diam. Pada parabola $\tau^2 = 4\Delta$, kedua nilai eigen bertemu; di atasnya, keduanya menjadi pasangan kompleks. Jika $\Delta > 0$, tanda $\tau$ membedakan peluruhan dari pertumbuhan, dan pada $\tau = 0$, pasangan itu terletak pada sumbu imajiner. Jadi, $\tau$ dan $\Delta$ menentukan nilai eigen serta jenis gambar, kecuali saat nilai eigennya berulang. Dalam kasus itu, jenisnya juga bergantung pada apakah $A$ merupakan kelipatan matriks identitas.

Untuk nilai eigen kompleks $\alpha \pm \beta i$ dengan $\beta > 0$, setiap solusi tak nol mengelilingi titik asal sekali dalam waktu $2\pi/\beta$ dan selama itu diskalakan dengan faktor $e^{2\pi\alpha/\beta}$. Karena itulah tanda yang berselang satu putaran terletak pada satu sinar garis dari titik asal, masing-masing diskalakan dengan faktor yang sama. Saat $\alpha = 0$, faktor itu bernilai 1 dan setiap orbit tak nol menutup menjadi elips: sebuah pusat. Dengan $\Delta = 1$ dan $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \tau \end{pmatrix}$, sistem ini adalah osilator teredam $x'' + 2\zeta x' + x = 0$ dengan $\zeta = -\tau/2$.

Saat melintasi parabola, kedua garis lurus merapat seperti gunting hingga menjadi satu, lalu menghilang ketika gambar berubah menjadi spiral. Selain di puncak parabola, matriks yang umum dijumpai pada parabola hanya memiliki satu garis itu. Semua solusi lainnya memasuki atau meninggalkan titik asal dengan menyinggungnya. Pada $(\tau, \Delta) = (-2, 1)$, matriks $-I$ memiliki nilai eigen yang sama, tetapi setiap arah membentuk garis lurus. Perubahan basis, $A \mapsto PAP^{-1}$, mengubah bentuk gambar tetapi mempertahankan $\tau$, $\Delta$, nilai eigen, dan jenisnya. Kelipatan matriks identitas tetap tidak berubah.