相图

相图把微分方程组的解画成变量平面上的曲线，每个起点引出一条。本页画的是线性方程组$x' = Ax$，$A$是$2 \times 2$矩阵。在迹–行列式地图上移动点$(\tau, \Delta)$，画面会经过鞍点、结点、螺旋和中心；旁边的特征值平面画出每幅图背后的两个特征值。

每条曲线都顺着方向场走。方向场的箭头一样长，只表示方向；快慢要看等时点，运动慢的地方点就密。有些解沿着过原点的直线走。如果$Av = \lambda v$，那么$x(t) = e^{\lambda t} v$就是一个解，因为它的导数$\lambda e^{\lambda t} v$正好等于$A$作用在它上面。所以这些直线就是$A$的特征方向，$\lambda$是沿这条线的增长率：$\lambda > 0$时往外走，$\lambda < 0$时往里走，$\lambda = 0$时不动。

特征值是$\lambda^2 - \tau\lambda + \Delta = 0$的根，所以$\tau$是两根之和，$\Delta$是两根之积，$\tau^2 - 4\Delta$是判别式。地图上每条分界线都对应特征值平面上的一件事。$\Delta = 0$以下，两个特征值异号，画面是鞍点；在这条线上有一个特征值是0，一整条直线上的点都不动。在抛物线$\tau^2 = 4\Delta$上两个特征值相遇，抛物线以上变成一对共轭复数。$\Delta > 0$时，$\tau$的正负区分衰减和增长；在$\tau = 0$上，这对复数落在虚轴上。所以$\tau$和$\Delta$决定了特征值，也决定了相图的类型；只有特征值重合时，还要看$A$是不是单位矩阵的倍数。

特征值是复数$\alpha \pm \beta i$（$\beta > 0$）时，每个非零解绕原点转一圈用时$2\pi/\beta$，这段时间里整体缩放$e^{2\pi\alpha/\beta}$倍。所以相隔一圈的等时点落在从原点出发的同一条射线上，每个都按同一个倍数缩放。$\alpha = 0$时倍数是1，每条非零轨道都闭合成椭圆，这就是中心。取$\Delta = 1$、$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \tau \end{pmatrix}$，方程组就是阻尼振子$x'' + 2\zeta x' + x = 0$，其中$\zeta = -\tau/2$。

穿过抛物线时，两条直线解像剪刀一样合成一条，随后消失，画面变成螺旋。除了抛物线的顶点，抛物线上一般的矩阵只有这一条直线解，其他解进出原点时都与它相切。在$(\tau, \Delta) = (-2, 1)$处，矩阵$-I$的特征值相同，每个方向却都是直线解。换基$A \mapsto PAP^{-1}$会改变画面的形状，但保持$\tau$、$\Delta$、特征值和类型。单位矩阵的倍数换基后不变。