Фазовый портрет

Фазовый портрет изображает решения системы дифференциальных уравнений кривыми на плоскости её переменных: через каждую начальную точку проходит одна кривая. Здесь показана линейная система $x' = Ax$ с матрицей $A$ размера $2 \times 2$. Перемещение точки $(\tau, \Delta)$ на карте следа и определителя меняет картину между седлом, узлом, фокусом и центром. На соседней плоскости собственных значений видна пара, которая определяет каждую картину.

Каждая кривая следует полю направлений. Все стрелки имеют одинаковую длину и показывают только направление. О скорости говорят метки через равные промежутки времени: там, где движение медленное, они расположены теснее. Некоторые решения идут по прямой через начало координат. Если $Av = \lambda v$, то $x(t) = e^{\lambda t} v$ — решение: его производная $\lambda e^{\lambda t} v$ в точности равна результату применения к нему $A$. Таким образом, эти прямые — собственные направления $A$, а $\lambda$ задаёт темп изменения вдоль каждого: при $\lambda > 0$ движение направлено наружу, при $\lambda < 0$ — внутрь, при $\lambda = 0$ движения нет.

Собственные значения удовлетворяют $\lambda^2 - \tau\lambda + \Delta = 0$, поэтому $\tau$ — их сумма, $\Delta$ — произведение, а $\tau^2 - 4\Delta$ — дискриминант. Каждая граница на карте соответствует событию на плоскости собственных значений. Ниже $\Delta = 0$ собственные значения имеют разные знаки, и возникает седло. На этой линии одно из них равно 0, поэтому целая прямая состоит из неподвижных точек. На параболе $\tau^2 = 4\Delta$ собственные значения совпадают, а выше неё образуют комплексную пару. При $\Delta > 0$ знак $\tau$ отделяет затухание от роста, а на $\tau = 0$ пара лежит на мнимой оси. Итак, $\tau$ и $\Delta$ определяют собственные значения и тип картины, кроме случая кратного собственного значения. Тогда тип зависит ещё и от того, является ли $A$ скалярным кратным единичной матрицы.

Для комплексных собственных значений $\alpha \pm \beta i$ при $\beta > 0$ любое ненулевое решение обходит начало координат за время $2\pi/\beta$ и за это время масштабируется с множителем $e^{2\pi\alpha/\beta}$. Поэтому метки с интервалом в один оборот лежат на одном луче из начала координат и связаны одним и тем же множителем масштаба. При $\alpha = 0$ этот множитель равен 1, и любая ненулевая орбита замыкается в эллипс: это центр. При $\Delta = 1$ и $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \tau \end{pmatrix}$ система представляет собой затухающий осциллятор $x'' + 2\zeta x' + x = 0$ с $\zeta = -\tau/2$.

При пересечении параболы две прямые сходятся, как лезвия ножниц, в одну, а затем исчезают, когда картина становится спиральной. Вне вершины типичная матрица на параболе имеет только одну такую прямую. Все остальные решения входят в начало координат или выходят из него по касательной к ней. В точке $(\tau, \Delta) = (-2, 1)$ матрица $-I$ имеет те же собственные значения, однако прямолинейные решения есть во всех направлениях. Замена базиса $A \mapsto PAP^{-1}$ меняет форму картины, сохраняя $\tau$, $\Delta$, собственные значения и тип. Скалярное кратное единичной матрицы остаётся неизменным.