위상 초상

위상 초상은 연립미분방정식의 해를 변수 평면 위의 곡선으로 나타냅니다. 각 시작점을 지나는 곡선이 하나씩 있습니다. 이 페이지에서는 $2 \times 2$ 행렬 $A$로 주어지는 선형 시스템 $x' = Ax$를 보여 줍니다. 대각합–행렬식 지도에서 $(\tau, \Delta)$ 위치의 점을 움직이면 안장점, 결절점, 나선점, 중심점이 나타납니다. 옆의 고윳값 평면에는 각 그림을 결정하는 두 고윳값이 표시됩니다.

모든 곡선은 방향장을 따릅니다. 화살표는 길이가 모두 같아 방향만 나타냅니다. 속력은 같은 시간 간격의 표시로 알 수 있으며, 움직임이 느린 곳에서는 표시가 모여 있습니다. 일부 해는 원점을 지나는 직선 위에서 움직입니다. $Av = \lambda v$이면 $x(t) = e^{\lambda t} v$는 해입니다. 그 도함수 $\lambda e^{\lambda t} v$가 이 해에 $A$를 적용한 것과 정확히 같기 때문입니다. 따라서 이 직선들은 $A$의 고유방향이며, 각 방향의 변화율은 $\lambda$입니다. $\lambda > 0$이면 바깥으로, $\lambda < 0$이면 안으로 움직이고, $\lambda = 0$이면 움직이지 않습니다.

고윳값은 $\lambda^2 - \tau\lambda + \Delta = 0$의 해입니다. 따라서 $\tau$는 두 고윳값의 합, $\Delta$는 곱, $\tau^2 - 4\Delta$는 판별식입니다. 지도의 각 경계는 고윳값 평면에서 일어나는 하나의 변화에 대응합니다. $\Delta = 0$ 아래에서는 고윳값의 부호가 서로 달라 안장점이 됩니다. 이 선 위에서는 하나의 고윳값이 0이므로 직선 전체의 점이 정지합니다. 포물선 $\tau^2 = 4\Delta$ 위에서는 두 고윳값이 만나고, 그 위쪽에서는 복소수 쌍이 됩니다. $\Delta > 0$일 때 $\tau$의 부호가 감쇠와 성장을 구분하며, $\tau = 0$ 위에서는 두 고윳값이 허수축에 놓입니다. 따라서 $\tau$와 $\Delta$으로 고윳값과 그림의 유형이 정해집니다. 다만 중복 고윳값에서는 $A$가 단위행렬의 상수배인지에 따라서도 유형이 달라집니다.

복소 고윳값이 $\alpha \pm \beta i$이고 $\beta > 0$이면, 영해를 제외한 모든 해는 시간 $2\pi/\beta$ 동안 원점을 한 바퀴 돌며 그동안 크기가 $e^{2\pi\alpha/\beta}$배가 됩니다. 그래서 한 바퀴 간격의 표시는 원점에서 뻗는 하나의 반직선 위에 놓이고, 매번 같은 비율로 크기가 변합니다. $\alpha = 0$이면 배율은 1이며, 영해를 제외한 모든 궤도가 타원으로 닫힙니다. 이것이 중심점입니다. $\Delta = 1$이고 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \tau \end{pmatrix}$이면 이 시스템은 $\zeta = -\tau/2$인 감쇠 진동자 $x'' + 2\zeta x' + x = 0$입니다.

포물선을 가로지르면 두 직선이 가위처럼 오므라들어 하나가 되고, 그림이 나선으로 바뀌면서 사라집니다. 꼭짓점을 제외한 포물선 위의 전형적인 행렬에는 이 직선 하나만 있으며, 나머지 해는 모두 원점에서 이 직선에 접하며 들어오거나 나갑니다. $(\tau, \Delta) = (-2, 1)$에서 행렬 $-I$는 고윳값이 같지만 모든 방향이 직선입니다. 기저를 $A \mapsto PAP^{-1}$로 바꾸면 그림의 모양은 변해도 $\tau$, $\Delta$, 고윳값, 유형은 그대로입니다. 단위행렬의 상수배는 바뀌지 않습니다.