이 시각화의 벡터장
평면의 벡터장은 정의역의 각 점 에 벡터 를 대응시킵니다. 속도장으로 읽으면 모든 점을 움직입니다. 입자는 아래의 자율계를 따르며, 경로는 장의 적분곡선(유선이라고도 합니다)이 됩니다. 이 페이지는 장을 그리고 잉크와 입자를 그 흐름에 실어 보내며, 탐침을 놓은 곳의 F를 계산합니다.
화살표는 그 순간의 속도일 뿐입니다. 입자는 하나의 곧은 화살표를 따라가는 대신, 모든 곳에서 화살표에 접하는 곡선을 따라갑니다. 회전장 에서 (1, 0)의 화살표는 바로 위를 가리키지만 잉크 중심은 단위원을 돕니다. 격자 화살표는 그림 아래 표시된 하나의 축척을 공유합니다(일부 긴 화살표는 잘라서 빗금을 표시). 탐침의 화살표는 실제 길이의 F(P)이며, 성분 P와 Q는 점선으로 표시합니다.
작은 잉크 방울은 한 점 근처의 장 구조를 보여 줍니다. 1차 근사에서 중심의 F가 방울을 이동시키고 장의 도함수 행렬이 변형시킵니다. 넓이의 상대 증가율은 (유한한 방울은 그 안의 평균 발산)이며, 무한소 선요소의 평균 회전율은 입니다. 나머지는 어느 숫자로도 설명되지 않는 전단과 늘어남입니다. 두 지름이 이를 보여 줍니다. 전단장에서는 t = 1에 한 지름이 45° 기울고 다른 지름은 수평을 유지합니다.
살펴볼 점
- 배경 입자는 임의의 위치에서 다시 생기므로 밀집도에는 뜻이 없습니다. 팽창을 보려면 잉크 방울의 넓이를 보세요(발산, E25). 짧은 꼬리는 사라지는 흔적이며 유선이 아닙니다. 유선은 별도 버튼으로 켭니다.
- 각 방울은 놓는 순간 t = 0에서 시작하며, 수치 표시는 가장 최근에 놓은 방울을 따릅니다. 앞으로는 t를 늘리고 뒤로는 줄이며, 양쪽 모두 0을 지날 수 있습니다. 어느 방향으로 흐르는 동안에도 잉크를 놓을 수 있습니다. 음의 시간은 같은 장에서 초기 원을 거꾸로 움직이는 것이므로 과거 기록이 필요하지 않습니다. 다섯 선형 기본 예시는 행렬 지수를, 진자와 직접 입력한 장은 오차를 제어하는 수치적분을 사용합니다. 되돌릴 수 있으려면 전체 과정에서 유일한 해가 존재해야 하며, 멈춘 점은 복구할 수 없습니다.
- 잉크 방울은 계산 영역 밖으로 나가거나 장이 발산하거나 정의되지 않는 곳에서 멈춥니다. 그곳에서 윤곽선이 끊기고 내부 채움이 사라집니다. 여기의 장은 2차원이며 시간에 따라 변하지 않습니다.
조작 방법
- 그림을 클릭하면 잉크를 놓고, 드래그하면 연속해서 놓습니다(최대 세 방울). 화면 이동을 켜면 드래그로 보기를 옮깁니다. P를 드래그하거나 좌표를 입력하세요(−100부터 100까지). P는 화살표 격자에 맞춰집니다. P와 Q에는 + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt …를 사용할 수 있습니다.
- 발표 모드는 프로젝터용 전체 화면을 엽니다. 스페이스로 흐름을 시작하거나 멈추고, →와 ←로 방향을 정하며, H로 탐침의 F 값을 숨깁니다. 공유는 장, 탐침, 해당 시각의 잉크를 다시 여는 링크를 복사합니다.
관련 개념
더 읽어 보기: Wikipedia: Vector field (영어); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.1 Vector Fields (영어).