向量場

平面上的向量場，為定義域中的每個點 $(x, y)$ 指定一個向量 $\mathbf F(x, y) = (P(x, y),\ Q(x, y))$。將它解讀為速度場，便會推動每個點：粒子遵循下方的自治系統，其路徑是向量場的積分曲線（也稱為流線）。本頁繪出向量場，讓墨滴和粒子隨之移動，並計算探針所在位置的 F。

箭頭只表示當下的速度，因此粒子並非沿著一支筆直箭頭前進，而是沿著處處與箭頭相切的曲線：在旋轉場 $(-y, x)$ 中，(1, 0) 的箭頭垂直向上，墨滴中心卻沿單位圓繞行。格點箭頭共用一個比例尺，標在圖下方（少數較長的箭頭會截短並加上斜線）；探針箭頭則以真實長度顯示 F(P)，分量 P、Q 用虛線標示。

一小滴墨能顯示向量場在一點附近的結構。以一階近似來看，它由中心處的 F 帶動，並由場的導數矩陣造成變形：面積以相對速率 $\operatorname{div}\mathbf F$ 增長（有限大小的墨滴則取其範圍內的平均散度），無窮小線元素的平均旋轉速率為 $\tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F$；剩下的剪切與拉伸，則不是這兩個數能描述的。兩條直徑將它呈現出來：在剪切場中，到了 t = 1，一條傾斜 45°，另一條仍維持水平。