散度

平面向量場 $\mathbf F = (P, Q)$ 的散度是純量 $\operatorname{div}\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y$，在 F 連續可微分的地方定義。它衡量每單位面積的淨流出量，也稱源密度。在以 p 為中心、半徑 r 的小圓上，沿圓周加總朝外法向分量 $\mathbf F\cdot\mathbf n$（通量 Φ），再除以面積：

圓周上的刻度是 F·n：向外實心，向內空心，每個圓使用同一比例。對光滑場，比值與散度相差 r² 的某個倍數，所以每次 r 減半，差距約縮為四分之一；線性場則在每個圓上都恰等於散度。形狀不影響極限：p 周圍的正方形也給出相同極限。墨滴使意義變得可見 — 隨流動移動的小塊流體，面積的相對成長率是 div F；有限大小的區域在有限時間內追蹤，量到的則是平均值。

將區域切成小格並加總流出量：每條內部邊上，一格的流出就是鄰格的流入，因此最後只剩外邊界。讓小格縮小，總和便成為散度定理（格林定理的通量形式）：$\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_D \operatorname{div}\mathbf F\,dA$，適用於邊界分段光滑的有界區域，且 F 在區域中連續可微分。在三維中，相同敘述就是使用曲面與體積的高斯定理。