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다변수 미적분학 · 발산

발산

한 점에서 벡터장의 발산은 그 주변의 아주 작은 영역에서 단위 넓이당 나가는 순유출량이며, div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y입니다. 원을 한 점으로 줄이며 플럭스 ÷ 넓이가 일정한 값에 가까워지는 모습을 보세요.

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이 시각화에서 보는 발산

평면 벡터장 F=(P,Q)\mathbf F = (P, Q)의 발산은 스칼라 div⁡F=∇⋅F=∂P/∂x+∂Q/∂y\operatorname{div}\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y이며, F가 연속 미분 가능한 곳에서 정의됩니다. 단위 넓이당 순유출량을 측정하며 샘의 밀도라고도 합니다. p 주위 반지름 r인 작은 원의 테두리를 따라 바깥쪽 법선 성분 F⋅n\mathbf F\cdot\mathbf n를 더해 플럭스 Φ를 구한 뒤 넓이로 나눕니다.

극한으로 보는 발산
div⁡F(p)=lim⁡r→01πr2∮F⋅n ds\operatorname{div}\mathbf F(p) = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf n\,ds

테두리의 눈금은 F·n입니다. 바깥쪽은 채우고 안쪽은 비우며, 원마다 하나의 공통 배율을 사용합니다. 매끄러운 벡터장에서는 이 비와 발산의 차이가 r²의 배수이므로 r을 반으로 줄이면 차이는 대략 사분의 일이 됩니다. 선형 벡터장에서는 모든 원에서 발산과 같습니다. 모양은 중요하지 않습니다. p 주위의 정사각형도 같은 극한을 줍니다. 잉크 한 방울로 의미를 볼 수 있습니다. 흐름에 실려 가는 작은 유체 영역의 넓이는 상대 성장률 div F로 변합니다. 유한한 크기의 영역을 유한한 시간 동안 추적하면 그 평균을 측정합니다.

영역을 셀로 나누고 각 순유출량을 더해 보세요. 내부 경계에서는 한 셀의 유출이 이웃 셀의 유입이므로 외부 경계만 남습니다. 셀을 작게 줄이면 합은 발산 정리(그린 정리의 플럭스 형태) ∮∂DF⋅n ds=∬Ddiv⁡F dA\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_D \operatorname{div}\mathbf F\,dA가 됩니다. 이는 조각별로 매끄러운 경계를 가진 유계 영역에서 F가 연속 미분 가능할 때 성립합니다. 삼차원에서 곡면과 부피로 나타낸 같은 명제가 가우스 정리입니다.

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살펴볼 점

  • 발산은 화살표가 어느 방향을 향하는지로 결정되지 않습니다. 점원천 (x,y)/(x2+y2)(x, y)/(x^2 + y^2)는 모든 곳에서 바깥을 향하지만 원점 밖에서는 발산이 0입니다. 원점을 둘러싼 모든 원에서 2π가 나가는 이유는 샘 전체가 벡터장이 정의되지 않는 원점에 있기 때문입니다. 분포의 의미에서 그 발산은 2π에 델타를 곱한 것입니다. 벡터장 (x2,0)(x^2, 0)은 모두 오른쪽을 향하지만 빨라지는 곳에는 샘, 느려지는 곳에는 흡입점이 있습니다.
  • 빠른 흐름이 발산을 뜻하지는 않습니다. 안장 벡터장 (x,−y)(x, -y)는 방울을 납작하게 만들지만 넓이는 유지합니다. 테두리를 따라 흐르는 성분 F·T는 회전에서 다룰 내용입니다 (E26).
  • 발산은 수식을 기호적으로 미분해 구하며, 정확한 값이 유리수일 때만 ‘=’를 씁니다. 플럭스는 수치적분으로 구하고 오차 추정이 뒷받침하는 자리까지만 표시합니다. 직접 입력한 벡터장에서는 플럭스와 ∬ div F dA를 비교하여 불일치하면 알립니다. 영역 안이나 근처에 특이점이 있을 수 있습니다.
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조작 방법

  • P 또는 경계와 r 손잡이를 드래그하세요. P는 화살표 격자에, r은 2의 거듭제곱에 맞춰 붙습니다. r → 0은 r을 여섯 번 반으로 줄이며 선택적으로 여는 다가가기 기록 창에 각 단계를 모읍니다. 모양이 작아지면 돋보기가 열립니다. 정사각형을 고르면 r이 변 길이의 절반이 되며, 격자로 셀 구성을 고릅니다.
  • 변형은 현재 원이나 정사각형을 t = ¼까지 움직입니다. 실행 중에 누르면 일시 정지하고, 끝난 뒤 누르면 다시 재생합니다. 마지막 모양은 그대로 남습니다. 넓이와 성장률은 영역과 시간에 대한 평균입니다. 기준 모양은 검출기를 옮기거나 모양을 바꾸어도 위치·크기·모양을 유지합니다. 벡터장을 바꾸면 지워지고, 버튼을 다시 눌러도 없앨 수 있습니다.
  • 발표 모드는 전체 화면입니다. 스페이스로 r → 0을 실행하고, ← →로 r을 두 배 또는 절반으로 바꾸며, H로 발산을 숨깁니다. 공유는 벡터장·검출기·화면을 여는 링크를 복사합니다.
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관련 개념

더 읽어 보기: Wikipedia: Divergence (영어); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (영어); Wikipedia: Divergence theorem (영어).