회전(curl): 인터랙티브 시각화

이 시각화의 회전

평면 벡터장 $\mathbf F = (P, Q)$ 의 회전은 아래의 수이며 스칼라 회전이라고도 합니다. 3차원 $\nabla\times\mathbf F$ 의 세 번째 성분입니다. 또한 순환 밀도입니다. 한 점 주위의 작은 고리를 반시계 방향으로 돈 순환을 고리가 둘러싼 넓이로 나눈 뒤, 고리를 그 점으로 줄여 얻습니다. 두 설명은 F가 연속 미분 가능한 곳에서 성립합니다.

미분과 극한으로 보는 회전

\operatorname{curl}\mathbf F = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf T\,ds

노란 눈금은 테두리를 따른 흐름 성분 F·T입니다. 그 적분 Γ는 테두리의 순환이며, Γ/(2πr²)는 테두리의 평균 각속도입니다. r → 0이면 회전값의 절반에 가까워지고, 회전이 선형 함수이면 모든 r에서 절반과 같습니다. 바퀴 자체는 매끄러운 흐름 속의 이상적인 작은 바퀴이며 $\omega = \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F(P)$ 로 돕니다. 이는 P를 지나는 서로 수직인 두 선요소의 순간 회전율을 평균한 값입니다. 수평 선요소는 ∂Q/∂x, 수직 선요소는 −∂P/∂y로 돕니다(십자 표시). 각각의 회전율이 ω일 필요는 없습니다. 전단 흐름 (y, 0)에서는 수직 선요소가 −1로 돌고 수평 선요소는 전혀 돌지 않습니다.

표류는 바퀴가 흐름을 따라 움직이게 합니다. 지나는 각 점에서 그곳 회전값의 절반으로 자전하므로, 경로 전체의 총 회전각은 $\theta = \int \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F\,dt$ 입니다. 시간 단위의 절반마다 방향을 표시로 남깁니다. 소용돌이 (−y, x)/(x² + y²)에서는 F가 정의되지 않은 원점을 제외하고 회전이 모두 0입니다. 원점을 한 바퀴 돈 바퀴는 θ = 0으로 돌아옵니다. 휘는 흐름은 반시계 방향으로, 더 빠른 안쪽 물은 시계 방향으로 돌리려 하며 둘은 상쇄됩니다.

살펴볼 점

그린 정리(순환 형태): F가 영역 D를 포함하는 열린 집합에서 연속 미분 가능하면, D의 경계를 반시계 방향으로 도는 $\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds$ 는 $\iint_D \operatorname{curl}\mathbf F\,dA$ 과 같습니다. 고리 안에서 공유하는 안쪽 변의 순환은 두 칸에 반대 방향으로 한 번씩 기여합니다. 따라서 각 칸의 순환을 더하면 바깥 경계의 순환만 남으며, 각 칸에서는 대략 회전 × 넓이입니다. 고리는 각 칸 중심의 회전에 넓이를 곱해 더합니다. 중점 합이므로 회전이 선형이면 정확하고, 그렇지 않으면 칸이 작아질수록 Γ에 가까워집니다.
곧은 유선에도 회전이 있을 수 있고(전단 흐름과 수로), 원형 유선에도 회전이 없을 수 있습니다(소용돌이). 소용돌이 중심을 도는 고리의 순환은 2π이지만 내부의 다른 모든 곳에서 회전은 0입니다. 중심에서 F가 정의되지 않으므로 그린 정리를 적용할 수 없기 때문입니다(선적분 페이지의 나선 계단). 눈금은 테두리를 따른 성분만 보여 줍니다. 테두리를 가로지르는 성분은 발산과 관련됩니다. 3차원에서는 회전이 벡터이며, 정리는 스토크스 정리가 됩니다.
회전은 기호 미분으로 구하며 “=”는 정확한 값을 뜻합니다. 기본 예시의 순환은 닫힌 형태로 계산하고, 직접 입력한 장은 오차 추정을 포함한 수치적분으로 계산합니다. 표류는 3차장을 제외한 기본 예시에서 닫힌 형태를 쓰고, 나머지는 수치적분합니다. 표시는 시간 단위의 절반마다 남깁니다. 두 표시 사이에 정확히 한 바퀴 돈 바퀴는 표시만 보면 정지한 듯 보이지만 θ는 모든 회전을 셉니다. 배경 입자는 흐름의 방향만 나타내며 밀집도에는 뜻이 없습니다.

조작 방법

바퀴 중심 P(화살표 격자에 맞춰짐)나 테두리(½, 1, 2 …에 맞춰짐)를 드래그하거나 값을 입력하세요. P는 −100부터 100까지, r은 0.001부터 100까지입니다. 다른 곳을 드래그하면 화면이 이동하고, 보기 버튼으로 확대·축소합니다. 바퀴나 정사각형 고리를 골라 장을 관찰하세요. 고리의 반변 길이는 r이며 칸 수를 조절할 수 있습니다. 바퀴 모드에서 표류는 같은 실행을 시작, 일시 정지, 재개합니다. 바퀴는 그림 밖에서도 계속 움직입니다. 일시 정지 후 중심을 옮기면 새 출발점이 되며 표류를 누르기 전까지 정지합니다. 출발점으로는 출발 위치와 방향을 복원하고 실행 시간, 회전각, 궤적을 지웁니다. P와 Q에는 + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt …를 사용할 수 있습니다.
발표 모드는 프로젝터용 전체 화면을 엽니다. 스페이스로 표류하거나 일시 정지하고, ←와 →로 테두리를 두 배 또는 절반으로 바꾸며, H로 회전 정보를 숨깁니다. 공유는 장, 바퀴, 보기를 다시 여는 링크를 복사합니다.

이 시각화의 회전

살펴볼 점

조작 방법

관련 개념