Ротор: интерактивная визуализация

Ротор в этой визуализации

Ротор плоского векторного поля $\mathbf F = (P, Q)$ — число, указанное ниже, также называемое скалярным ротором; это третья компонента трёхмерного $\nabla\times\mathbf F$ . Он равен плотности циркуляции: циркуляции против часовой стрелки по малому контуру вокруг точки, делённой на охваченную площадь, в пределе при стягивании контура к точке. Оба определения действуют там, где F непрерывно дифференцируемо.

Ротор как производная и как предел

\operatorname{curl}\mathbf F = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf T\,ds

Жёлтые метки — составляющая потока вдоль обода, F·T; её интеграл Γ — циркуляция по ободу, а Γ/(2πr²) — средняя угловая скорость обода. При r → 0 она стремится к половине ротора, а при линейном роторе равна ей для любого r. Само колесо — идеальное малое колесо в гладком потоке: оно вращается с $\omega = \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F(P)$ , средним угловых скоростей двух перпендикулярных линейных элементов через P в данный момент — горизонтального со скоростью ∂Q/∂x и вертикального со скоростью −∂P/∂y (крест). Каждый отдельно не обязан вращаться с ω: в сдвиговом потоке (y, 0) вертикальный вращается со скоростью −1, а горизонтальный не вращается.

Дрейф отпускает колесо в поток. В каждой пройденной точке оно вращается со скоростью, равной половине местного ротора, поэтому суммарный поворот равен $\theta = \int \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F\,dt$ вдоль пути; метка через каждые пол-единицы времени фиксирует ориентацию. В вихре (−y, x)/(x² + y²) ротор равен 0 всюду, кроме начала координат, где F не определено, и колесо, обойдя начало координат, возвращается с θ = 0: изгиб потока поворачивал бы его против часовой стрелки, а более быстрая вода с внутренней стороны — по часовой; эффекты сокращаются.

На что обратить внимание

Теорема Грина (циркуляционная форма): $\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds$ по границе области D, обходимой против часовой стрелки, равно $\iint_D \operatorname{curl}\mathbf F\,dA$ , если F непрерывно дифференцируемо на открытом множестве, содержащем D. В контуре циркуляция вдоль общего внутреннего ребра входит по одному разу в каждую из двух ячеек с противоположными направлениями, поэтому сумма циркуляций ячеек равна циркуляции по внешнему контуру, а каждая примерно равна ротору, умноженному на площадь. Контур суммирует ротор в центре каждой ячейки, умноженный на её площадь: это сумма по средним точкам, точная при линейном роторе и в остальных случаях приближающаяся к Γ при уменьшении ячеек.
Прямые линии тока могут иметь ненулевой ротор (сдвиговый поток, канал), а круговые — нулевой (вихрь). Контур вокруг центра вихря имеет циркуляцию 2π, хотя во всех остальных точках внутри ротор равен 0: теорема здесь неприменима, поскольку в центре F не определено (винтовая лестница на странице криволинейного интеграла). Метки показывают только составляющую вдоль обода; поперечная составляющая относится к дивергенции. В трёх измерениях ротор — вектор, а теорема обобщается до теоремы Стокса.
Ротор вычисляется по символьным производным, и «=» означает точное значение. Циркуляция для готовых полей вычисляется по явной формуле, для введённых — численным интегрированием с оценкой погрешности; дрейф для готовых полей, кроме кубического, задаётся явно, в остальных случаях интегрируется численно. Метки — отсчёты через каждые пол-единицы времени: если колесо делает полный оборот между двумя метками, по ним оно выглядит неподвижным, а θ учитывает каждый оборот. Фоновые частицы показывают лишь направление потока; их сгущение ничего не означает.

Управление

Перетаскивайте центр колеса P (с привязкой к сетке стрелок) или обод (с привязкой к ½, 1, 2 …) либо вводите значения: P от −100 до 100, r от 0.001 до 100. Перетаскивание в другом месте перемещает вид; кнопки вида меняют масштаб. Выберите «Колесо» или «Квадратный контур» для наблюдения поля. У контура половина стороны r и настраиваемое число ячеек. «Дрейф» начинает, приостанавливает или продолжает тот же запуск в режиме колеса. Колесо продолжает двигаться за пределами рисунка. После паузы перемещение центра задаёт новую исходную точку и оставляет колесо неподвижным до нажатия «Дрейф». «Вернуться к началу» восстанавливает исходное положение и ориентацию, очищает время, угол поворота и след. Вводите P и Q с помощью + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt …
Режим презентации открывает полноэкранный вид для проектора: пробел запускает или приостанавливает дрейф колеса, ← и → удваивают или уменьшают вдвое обод, H скрывает, как вращается колесо. «Поделиться» копирует ссылку, восстанавливающую поле, колесо и вид.

Связанные темы

E22Векторное поле
E12Частная производная
E23Криволинейный интегралСкоро
E25Дивергенция

Дополнительные материалы: Википедия: Curl (mathematics) (Английский); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (Английский); Википедия: Green's theorem (Английский).