Math

Анализ функций нескольких переменных · Дивергенция

Дивергенция

Дивергенция векторного поля в точке — суммарный отток на единицу площади из малой области вокруг неё: div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Сжимайте круг к точке и следите, к чему стремится поток ÷ площадь.

01

Дивергенция в этой визуализации

Дивергенция плоского векторного поля F=(P,Q)\mathbf F = (P, Q) — скаляр div⁡F=∇⋅F=∂P/∂x+∂Q/∂y\operatorname{div}\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y, определённый там, где F непрерывно дифференцируемо. Она измеряет суммарный отток на единицу площади — это также называют плотностью источников. На границе малого круга радиуса r с центром p проинтегрируйте внешнюю нормальную составляющую F⋅n\mathbf F\cdot\mathbf n (получив поток Φ) и разделите на площадь:

Дивергенция как предел
div⁡F(p)=lim⁡r→01πr2∮F⋅n ds\operatorname{div}\mathbf F(p) = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf n\,ds

Штрихи на границе показывают F·n: сплошные наружу, полые внутрь, у каждого круга свой масштаб. Для гладкого поля отношение отличается от дивергенции на величину порядка r², поэтому уменьшение r вдвое уменьшает разность примерно вчетверо; для линейного поля оно равно дивергенции при любом круге. Форма не важна: квадрат с центром p даёт тот же предел. Капля чернил наглядно раскрывает смысл — малая область жидкости, переносимая потоком, растёт по площади с относительной скоростью div F; область конечного размера за конечное время измеряет среднее значение.

Разбейте область на ячейки и сложите их оттоки: на каждой внутренней границе отток из одной ячейки — это приток в соседнюю, поэтому остаётся только внешняя граница. При уменьшении ячеек сумма переходит в теорему о дивергенции (потоковую форму формулы Грина): ∮∂DF⋅n ds=∬Ddiv⁡F dA\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_D \operatorname{div}\mathbf F\,dA, для ограниченной области с кусочно гладкой границей, в которой F непрерывно дифференцируемо. В трёх измерениях это теорема Гаусса, соотношение для поверхностей и объёмов.

02

На что обратить внимание

  • Дивергенция не определяется тем, куда направлены стрелки. Точечный источник (x,y)/(x2+y2)(x, y)/(x^2 + y^2) направлен наружу везде, но вне начала координат имеет дивергенцию 0; через каждый круг вокруг начала координат выходит 2π, поскольку весь источник сосредоточен в начале координат, где поле не определено (в смысле обобщённых функций его дивергенция там равна 2π, умноженному на дельта-функцию). Поле (x2,0)(x^2, 0) везде направлено вправо, но имеет источники там, где ускоряется, и стоки там, где замедляется.
  • Быстрое течение не означает дивергенцию: седло (x,−y)(x, -y) сплющивает каплю, но сохраняет её площадь. Поворот потока вдоль границы, F·T, — вопрос ротора (E26).
  • Дивергенция получается из символьной производной формулы; знак «=» ставится только при рациональном точном значении. Поток вычисляется численным интегрированием и показывается лишь с теми разрядами, за которые отвечает оценка погрешности. Для введённого поля страница сравнивает поток с ∬ div F dA и сообщает о расхождении: внутри области или рядом с ней может быть особая точка.
03

Управление

  • Перетаскивайте P либо границу и её маркер r; P притягивается к решётке стрелок, r — к степеням 2. r → 0 шесть раз делит r пополам и сохраняет каждый шаг в необязательном окне «Запись приближения»; для малой фигуры открывается лупа. Выберите Квадрат, чтобы r обозначало полусторону, затем задайте разбиение через Сетку.
  • Деформация переносит текущий круг или квадрат до t = ¼. Нажмите во время движения для паузы или после завершения для повтора; итоговая фигура остаётся видимой. Площадь и скорость роста усреднены по области и времени. Опорная фигура сохраняет положение, размер и форму, пока вы перемещаете детектор или меняете его форму. Смена поля убирает её; повторное нажатие тоже убирает фигуру.
  • Режим презентации открывает полноэкранный вид: пробел запускает r → 0, ← и → удваивают или делят r пополам, H скрывает дивергенцию. Поделиться копирует ссылку на поле, детектор и вид.
04

Связанные темы

Дополнительные материалы: Википедия: Divergence (Английский); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (Английский); Википедия: Divergence theorem (Английский).