Math

Çok Değişkenli Analiz · Diverjans

Diverjans

Bir vektör alanının bir noktadaki diverjansı, çevresindeki çok küçük bir bölgeden birim alan başına net dış akıştır: div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Çemberi noktaya doğru küçültün ve akı ÷ alan değerinin yerleşmesini izleyin.

01

Bu görselleştirmede diverjans

Düzlemsel bir F=(P,Q)\mathbf F = (P, Q) vektör alanının diverjansı, F'nin sürekli türevlenebilir olduğu yerlerde tanımlanan div⁡F=∇⋅F=∂P/∂x+∂Q/∂y\operatorname{div}\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y skaleridir. Birim alan başına net dış akışı, bazen kaynak yoğunluğu denen niceliği ölçer. p çevresinde r yarıçaplı küçük bir çemberin sınırı boyunca dış normal bileşen F⋅n\mathbf F\cdot\mathbf n değerlerini toplayın (akı Φ) ve alana bölün:

Limit olarak diverjans
div⁡F(p)=lim⁡r→01πr2∮F⋅n ds\operatorname{div}\mathbf F(p) = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf n\,ds

Çevredeki işaretler F·n değerleridir: dışa doğru dolu, içe doğru boş; her çember için tek ölçek. Düzgün bir alanda oranın diverjanstan farkı r²'nin bir katıdır; bu yüzden r'nin her yarılanması farkı yaklaşık dörde böler. Doğrusal alanda oran her çember için diverjansa eşittir. Şekil önemli değildir: p çevresindeki kare de aynı limiti verir. Bir mürekkep damlası anlamı görünür kılar: akışla taşınan küçük sıvı parçasının alanı div F bağıl hızıyla büyür; sonlu büyüklükte bir parçayı sonlu süre izlemek bunun ortalamasını ölçer.

Bölgeyi hücrelere ayırıp dış akışlarını toplayın: her iç kenarda bir hücrenin dış akışı komşusunun iç akışıdır; böylece yalnızca dış sınır kalır. Hücreler küçüldükçe toplam, diverjans teoremine (Green teoreminin akı biçimine) dönüşür: ∮∂DF⋅n ds=∬Ddiv⁡F dA\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_D \operatorname{div}\mathbf F\,dA. Bu, parçalı düzgün sınırı olan ve F'nin sürekli türevlenebilir olduğu sınırlı bir bölge için geçerlidir. Üç boyutta aynı ifade yüzeyler ve hacimlerle Gauss teoremidir.

02

Dikkat edilecekler

  • Diverjans okların hangi yönü gösterdiğiyle ilgili değildir. (x,y)/(x2+y2)(x, y)/(x^2 + y^2) noktasal kaynağı her yerde dışa yönelir, ancak orijin dışında diverjansı 0'dır. Orijini çevreleyen her çemberden 2π çıkar; çünkü tüm kaynak alanın tanımsız olduğu orijindedir (dağılımlar anlamında oradaki diverjansı delta fonksiyonunun 2π katıdır). (x2,0)(x^2, 0) alanı her yerde sağa yönelir, ama hızlandığı yerlerde kaynakları, yavaşladığı yerlerde yutakları vardır.
  • Hızlı akış diverjans değildir: (x,−y)(x, -y) eyer alanı damlayı yassılaştırır, ama alanını korur. Akışın sınır boyunca nasıl döndüğü, F·T, rotasyonelin konusudur (E26).
  • Diverjans, formülün sembolik türevinden gelir; yalnızca tam değeri rasyonelse “=” ile yazılır. Akı sayısal integraldir ve yalnızca hata tahmininin desteklediği basamaklarla gösterilir. Yazılan alanda sayfa akıyı ∬ div F dA ile karşılaştırır ve uyuşmadıklarında bildirir: bölgede veya yakınında tekil nokta olabilir.
03

Kontroller

  • P'yi veya sınırı ve r tutamacını sürükleyin. P okların kafesine, r ise 2'nin kuvvetlerine tutunur. r → 0, r'yi altı kez yarıya indirir ve her düzeyi isteğe bağlı Yaklaşma kaydı penceresinde toplar; şekil küçülünce büyüteç açılır. r'yi yarı kenar olarak kullanmak için Kare seçin, ardından Izgara ile ızgarayı seçin.
  • Deformasyon, mevcut çemberi veya kareyi t = ¼ anına kadar ilerletir. Çalışırken duraklatmak, tamamlanınca tekrar oynatmak için basın; son şekil görünür kalır. Alan ve büyüme hızı, bölge ve zaman üzerindeki ortalamalardır. Referans şekli, dedektörü taşırken veya şeklini değiştirirken konumu, boyutu ve şekli korur. Alanı değiştirmek onu temizler; kaldırmak için tuşa yeniden basın.
  • Sunum modu tam ekran görünümü açar: Boşluk r → 0 işlemini çalıştırır, ← ve → r'yi iki katına çıkarır veya yarıya indirir, H diverjansı gizler. Paylaş alanın, dedektörün ve görünümün bağlantısını kopyalar.
04

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Divergence (İngilizce); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (İngilizce); Vikipedi: Divergence theorem (İngilizce).