Math

Çok Değişkenli Analiz · Rotasyonel

Rotasyonel

Düzlemsel bir vektör alanının rotasyoneli ∂Q/∂x − ∂P/∂y, akışa yerleştirilen ideal küçük bir kanatlı çarkın dönme hızının iki katıdır. Düz bir akışa çark bırakıp dönüşünü izleyin; bir girdabın çevresinde sürüklenirken hiç dönmediğini görün.

01

Bu görselleştirmede rotasyonel

Düzlemsel bir F=(P,Q)\mathbf F = (P, Q) vektör alanının rotasyoneli, aşağıdaki sayıdır; buna skaler rotasyonel de denir. Üç boyutlu ∇×F\nabla\times\mathbf F ifadesinin üçüncü bileşenidir. Aynı zamanda dolaşım yoğunluğudur: bir noktanın çevresindeki küçük kapalı eğri boyunca saat yönünün tersine dolaşımın, eğrinin çevrelediği alana oranının, eğri o noktaya küçülürken aldığı limit. Her iki tanım da F'nin sürekli türevlenebilir olduğu yerlerde geçerlidir.

Türev ve limit olarak rotasyonel
curl⁡F=∂Q∂x−∂P∂y=lim⁡r→01πr2∮F⋅T ds\operatorname{curl}\mathbf F = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf T\,ds

Sarı çizgiler, akışın çember boyunca bileşeni F·T'yi gösterir; bunların Γ integrali çemberin dolaşımı, Γ/(2πr²) ise çemberin ortalama açısal hızıdır. r → 0 iken rotasyonelin yarısına yaklaşır; rotasyonel doğrusal bir fonksiyon olduğunda her r için ona eşittir. Çarkın kendisi, düzgün bir akıştaki ideal küçük çarktır: ω=12curl⁡F(P)\omega = \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F(P) hızında döner. Bu, P'den geçen birbirine dik iki doğru parçasının o andaki dönme hızlarının ortalamasıdır; yatay parça ∂Q/∂x, dikey parça −∂P/∂y hızında döner (artı işareti). Bu parçalardan herhangi biri tek başına ω hızıyla dönmek zorunda değildir: (y, 0) kaykılma akışında dikey parça −1 hızında dönerken yatay parça hiç dönmez.

Sürüklen, çarkı akışa bırakır. Çark, geçtiği her noktada oradaki rotasyonelin yarısı hızında döner; bu yüzden yol boyunca toplam dönüşü θ=∫12curl⁡F dt\theta = \int \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F\,dt olur. Her yarım zaman biriminde konan bir işaret yönelimini kaydeder. (−y, x)/(x² + y²) girdabında, F'nin tanımsız olduğu orijin dışında her yerde rotasyonel 0'dır ve orijinin çevresinde dolanan çark θ = 0 ile geri döner: akışın kıvrılması onu saat yönünün tersine, iç taraftaki daha hızlı su ise saat yönünde döndürür; bu iki etki birbirini götürür.

02

Dikkat edilecekler

  • Green teoremi (dolaşım biçimi): D bölgesinin sınırı boyunca saat yönünün tersine hesaplanan ∮∂DF⋅T ds\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds, F'nin D'yi içeren açık bir kümede sürekli türevlenebilir olması koşuluyla ∬Dcurl⁡F dA\iint_D \operatorname{curl}\mathbf F\,dA ifadesine eşittir. Kapalı eğri içinde, ortak bir iç kenar boyunca dolaşım, komşu iki hücreye zıt yönlerde birer kez katkıda bulunur. Böylece hücrelerin dolaşımlarının toplamı dış sınırın dolaşımını verir; her birinin dolaşımı yaklaşık rotasyonel × alan kadardır. Karede her hücrenin merkezindeki rotasyonel, hücre alanıyla çarpılıp toplanır: bu bir orta nokta toplamıdır. Rotasyonel doğrusal olduğunda tamdır; diğer durumlarda hücreler küçüldükçe Γ'ya yaklaşır.
  • Düz akış çizgilerinde rotasyonel olabilir (kaykılma akışı, kanal); dairesel akış çizgilerinde ise olmayabilir (girdap). Girdap merkezinin çevresindeki kapalı eğrinin dolaşımı 2π'dir; içerideki diğer tüm noktalarda rotasyonel 0 olsa da teorem burada uygulanamaz, çünkü merkezde F tanımsızdır (çizgi integrali sayfasındaki sarmal merdiven). Çizgiler yalnızca çember boyunca bileşeni gösterir; çemberi enine geçen bileşen diverjansla ilgilidir. Üç boyutta rotasyonel bir vektördür ve teorem Stokes teoremine dönüşür.
  • Rotasyonel sembolik türevlerden elde edilir; “=” tam değeri belirtir. Hazır alanlarda dolaşım kapalı biçimde hesaplanır; yazılan alanlarda ise hata tahminiyle birlikte sayısal integrasyon kullanılır. Sürüklenme, kübik alan dışındaki hazır alanlarda kapalı biçimde, diğer durumlarda sayısal integrasyonla hesaplanır. İşaretler her yarım zaman birimindeki örneklerdir: iki işaret arasında tam tur atan bir çark, işaretlere bakıldığında duruyormuş gibi görünür; θ ise her turu sayar. Arka plandaki parçacıklar yalnızca akışın nereye gittiğini gösterir; sıklaşmalarının bir anlamı yoktur.
03

Kontroller

  • Çarkın P merkezini (okların kafesine tutunur) veya çemberini (½, 1, 2 … değerlerine tutunur) sürükleyin ya da değerlerini yazın: P için −100 ile 100, r için 0.001 ile 100 arası. Görünümü kaydırmak için başka bir yeri sürükleyin; görünüm düğmeleriyle yakınlaştırın. Alanı gözlemlemek için Çark veya Kare kapalı eğri seçeneğini seçin. Karenin yarı kenarı r'dir ve hücre sayısı ayarlanabilir. Sürüklen, Çark modunda aynı hareketi başlatır, duraklatır veya sürdürür. Çark, görüntünün dışında da hareket etmeye devam eder. Duraklattıktan sonra merkezini taşımak yeni bir başlangıç noktası belirler; Sürüklen'e basana kadar çark hareketsiz kalır. Başlangıca dön, başlangıç konumunu ve yönelimini geri getirir; hareketin süresini, dönüş açısını ve izini temizler. P ve Q'yu + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt … ile yazın.
  • Sunum modu, projektörler için tam ekran görünüm açar: Boşluk tuşu çarkın sürüklenmesini başlatır veya duraklatır; ← ve → çemberi iki katına çıkarır veya yarıya indirir; H, çarkın nasıl döndüğünü gizler. Paylaş, alanı, çarkı ve görünümü yeniden açan bir bağlantı kopyalar.
04

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Curl (mathematics) (İngilizce); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (İngilizce); Vikipedi: Green's theorem (İngilizce).